ABC

donc, en mettant dans cette expression la valeur de CH, on obtient

AT>n AB X CB X AC

aCD '

ScoLiE. — En conservant les mêmes notations que dans le nufféro précédent, et désignant seulement par r', au lieu de r, le njon du cercle circonscrit, on a

« X ^ X c d'où r' = ^ X ? X %

^'wt-à-dire qae

1^6 WV. IIi — GHAP. I. — § IV.

Le rayon du cercle circonscrit à un triangle a pour expression le produit des trois côtés divisé par le quadruple de l'aire du triangk

Nous ferons connaître encore , par la suite , d'autres expressions de Taire du triangle.

N" 818. — ScoLiK oiirÉaAL sur les aires des figures rectiligne*.

Nous pouvons maintenant expliquer le sens de certaines àènominations usitées en Géométrie (vojrez , au n^ 5 , la note du bas delà page).

On nomme dimensions d'un rectangle la base et la hauteur de ce rectangle ; et Ton dit alors que

Un rectangle a pour mesure le produit de ses deux dimensions; ou bien , que — L'aire d'un refitangle est égale au produit de ses deux dimensions.

De là viennent les dénominadons de GioxiTAXE à deux dimensions et de GiHoxÉTAiE à trois dimensions, données aux deux parties principales de cette science (n^ S3) : c'est qu'en effet Tun des principaux objets de la première partie est la mesure de Vétendue à deux dimensions [la ligne est Vétendue à une dimension]^ tandis que la seconde, comme nous le verrons plus tard, pour donner Téva^ luation des corps, exige la connaissance d'une troisième dimension.

Les deux dimensions d'un rectangle s'appellent encore la Ion* gueur et la largeur; mais ordinairement, c'est la plus grande dn roension que l'on nomme la longueur.

Dans \e parallélogramme t les deux dimensions ne sont plus deas côtés consécutifs, mais bien l'un des côtés pris pour bases , et la perpendiculaire commune à ses deux bases. Celles-ci sont ordinairement les côtés les plus grands : ils représentent alors la longueur; et la perpendiculaire commune est la largeur.

Les deux dimensions d'un triangle sont, le côté pris pour base^ et la moitié de la hauteur. — Celles du trapèze sont la hauteur el la droite menée à égale distance des deux bases.

Lorsque le polygone est tout à fait irrégulier , on ne peut s< former une idée nette de ses deux dimensions prises sé|jarénieni. — En faisant , comme nous l'avons vu plus haut , l'addition dci nombres exprimant les aires des triangles dans lesquels le polv*

DKTEam NATION DES AlAES. l*]'J

gonea été décomposé, on obtient un résultat qui représente le produit effectué de ces deux dimensions {*).

L'opération qui a pour but de déterminer l'aire d^une surface quelconque y se réduisant, en dernière analyse , à une évaluation en carrés unitaires, porte le nom de quadrature.

Cest encore ici le lieu d'expliquer comment , dans le système des nowelies mesures de superficie , dans les mesures agraires par exemple , les multiples et les sous-multiples de Vanité principale deviennent de loo fois en loo fois plus grandes on plus petites que cette unité, lorsque les dimensions linéaires deviennent de lo en 10 fois plus grandes ou plus petites que Punité linéaire.

Le mètre valant lo décimètres, il s'ensuit que le mètre carré «piivautà lOX KO, ou lOO décimètres carrés;

De même, le décimètre carré vaut à i oo centimètres carrés, ctc —

Vare, ou le décamètre carré, équivaut à lOO mètres carrés j — y hectare à lOO X lOO, ou i oooo mètres carrés.

Et ainsi de suite.

Nous dirons enfin que les mots rectangle et carré, employés dans les diverses parties des mathématiques , tirent leur origine de la géométrie : ils sont , comme on le sait, synonymes des expressions : produit de deux nombres, et seconde puissance d'un nombre, parce qu'en effet ces deux produits représentent , en unités carrées, la superficie d'un rectangle ou d'un carré.

[*) On pent enceindre le polygone par un rectangle doût chaque cOté pasM par qiielqu''un des sommets, comme le montre lajigure 142; et alors on Fjg. 14^. donne quelquefois, dans la Géométrie pratique, le nom de longueur du polygone à la plus grande dimension du rectangle, et de largeur à la plus petite.-» Bfais ces dénominations sont impropres, puisque le produit de ces <leux lignes surpasse éTidemment Vairè du polygone.

Pour obtenir cette aire , il faut retrancher de celle du rectangle LMNP qui enveloppe le polygone, les parties excédantes ABCL, COEM, ENF,..., lesquelles, an moyen de perpendiculaires abaissées sur les côtés du rectangle , soat ramenées soit à des triangles APK, ABI ,..., soit à des trapèzes, IBCL,... Ce moyen d^éïaluer Taire d'^un polygone est le seul qu'ion puisse employer ^DS certaines circonstances : par exemple , lorsqu^il s^agit d^^fca/iMT la superficit d^on bois, d*un étang, ctc.

• l-^S LIV. II. — CHAP. l. — § V.

§ V. — Comparaison des aires.

Nous commencerons par établir les relations qui existent entiiles aires des figures semblables.

Rapports entre les aires des figures semblables.

Fie. i43- Lkmmk. {Fig, i43.)

N** 2i9. — Les aires de deux triangles y ABC , ADE, qui ont un angle égal A y sont proportionnelles aux rectangles des côtés qui comprennent l'angle égal.

Après avoir superposé les angles égaux , menons BE ; les triangles ABC , ABE , peuvent être considérés comme ayant respectÎYement pour bases AC , AE , et pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée du sommet commun B sur AC; donc (n^ SIS, corol. I ) ils sont proportionnels à leurs bases , et Ton a

ABC : ABE :: AC : ae.

En comparant de même les triangles ABE , ADE , on a enaire

ABE : ADE :: ab : ad.

Maintenant, si Ton multiplie ces deux proportions par ordre, et que Ton supprime dans les deux termes du premier rapport , le facteur commun ABE » il vient