ABC : A'B'C :: AB X AC : A'B' X A'C

mm comme d'ailleurs {même u^)

AC : A'C :: AB : a'B',

on en conclut, en multipliant ces proportions par ordre, et supf>nmant le âicteur AC dans les antécédents , ainsi que le facteur VC dans les conséquents,

ABC : A'B'C :: AB» : a'B'^

SoouB. — Soient AD , K' D% les hauteurs des deux triangles. Les triangles rectangles ABD, A'B'iy, sont aussi semblables, iomme équiangles ; on a donc

AD : A'iy :: ab : a'B'; et AD»: A'D'»:: ab»: A'B'»;

d où l'on déduit , en comparant cette proportion avec la précédente,

ABC : a'B'C :: ad» : a'D'».

Ainsi — Les aires de deux triangles semblables sont entre elles comme les carrés des hauteurs,

Tsi^aiME n. {Fig. 126.) p,ç ,^

N*^S21 . — Les périmètres de deux polygones semblables ABCDEF, A'B'C'D'E'F', sont proportionnels aux côtés homologues; — et — Leurs aires sont proportionnelle^ aux carrés des côtés,

ïSô LIV. II. CHAP. I. — § V.

On â d'abord, à cairse de la similitude des polygones (n" 196).

AB : A'B' :: BC : b'C :: CD : CD' :: de : d'e' :: ...;

d'où, en vertu de la théorie des proportions,

AB -f- BC -I- CD -h DE ■+• ... AB

A'B'-t- B'C'-4- CD' -h D'E' -h ... A'B^

ou périmètre ABCS}.., t pènmêtre AfB'C'iy... :: AB t A'B'; ce qui démontre la première partie de la proposition.

Ensuite, les deux polygones étant, d'après leur définitioD (n^ 187), composés de triangles semblables, qui, comparés entre eux, sont chacun à chacun, dans un même rapport, celui des carrés des côtés homologues, il s'ensuit, d'après les propriétés des proportions, que la somme des triangles qui constituent le premier polygone^ Ou Vairc de ce polygone, est à la somme des triangles qui coDStitaent le second , ou à Vaire de ce second polygone, dans le rapport de ces mêmes carrés ; c'est-à-dire que l'on a

ABCDEF : A' B'C D'E' F' Il AB' : A'B'K

CoROLLAiEE. — Lcs oires (les figures semhlabies sont proportionnelles auxearrés de leurs lignes homologues (n® 199).

Th^oràme ni.

N® 899. — Lorsque les lignes homologues de deux figures semblables sont proportionnelles aux lignes homologues de deux autres figures semblables [entre elles , mais non pas nécessairement semblables aux premières] , les aires des quatre figures sont proportionnelles; — et réciproquement.

Soient A, B , les deux premières figiures, et a, 6, deux d« leur» lignes hoifiologues ; on a (n® 991)

A : B :: /z' : bK

Soient de même C , D , les deux derrières âgurcs, etc^d, deui