COMP4BAISON DES AIRES

Je leurs lignes homologues; un a encore

mais , par hypothèse ^ a l h ',', c

d'où a^ : 6» :: c'

donc

Réciproquement y si QjukTKE figures semblables deuj: à ^/(r^z/jr^ sont

liées par la proportion A

comme on a d'ailleurs A

il en résulte a^

d'où a

N. B, — La proposition a également lieu quand les figures proposées sont toutes quatre semblables entre elles.

GoEOLLAiaE. — Si trois figures sont semblables, et qu'une ligne de Tune soit moyenne proportionnelle entre les lignes homologues des deux autres , Votre de la première figure sera moyenne proportionnelle entre les aires des deux dernières; — et réciproquement.

Comparaison des carrés construits sur certaines lignes,

THiORKME IV. {Fig. l46.) j.,^ ^C

>« 2!15. — Le carré BCED construit sur r/iyjwténuse BC d'un triangle rectangle ABC, est équivalent à la somme des carrés, VBFG , AGIR , construits respectivement sur les deux autres côtés, AB,AC.

Ce théorème n^est , au fond, que celui du n"204 ; mais son im- {lortance et sa fécondité en ont fait rechercher des démonstrations fondées uniquement sur V égalité et V équivalence des figures. Mous nous bornerons à exposer celle qui est le plus généralement admi3^ dans les Traités de Géométrie.

182 LIV. 11. CHâF I. § V.

Les trois carrés étant supposés construits en dehors du triangle ABC, abaissons du sommet A de Fangle droit, une perpendiculaire AL sur rhypoténuse , et prolongeons cette perpendiculaire jusqu'à la rencontre de DE en M : le carré BGED se trouve ainsi décomposé en deux rectangles BDML, LCEM. Tirons , de plus, AD et CF.

Cela posé , les angles ABD, FBC , sont égaux comme composés d'un angle droit chacun , et d^me partie ABC commune à tous deux ; de plus , les lignes AB et BF , BG et BD , sont égales comme étant deux à deux les côtés d'un même carré ; donc les triangles BAD, BFC , sont égaux (n"» 63, 2« cas),

Afaintenant, le triangle BAD est moitié du rectangle BLMD (n** SI i}, puisque ces deux figures ont même base BD et même hauteur BL ; de même , le triangle BFC est moitié du carré ABFG , comme ayant même base BF et même hauteur AB; donc

BLMD = ABFG.

On prouverait de la même manière, en tirant AE, BI , que

LMEC = ACIK;

et comme le carré BDEC équivaut à BLMD -f- LMEC , il en résulte

enfin carré BDEC = carrv AEFG -h carFv ACIK;

Fie. 147. Corollaire L — Le carré MNPQ {fig* i47) construit sur la diagonale BD [ ou AC] d'un autre carré ABCD , est double de celui-ci :

Proposition qui se vérifie d'ailleurs facilement d'après la figure. — En effet , les quatre carrés AOBM , AODN , BOCQ , DOCP , sont égaux, et respectivement doubles des triangles AOB, AOD, BOC , DOC , dont la somme est égale au carré ABCD.

Corollaire II. — Nous venons de voir que les carrés ABFG ,

FiG. 146. ACIK (fig, 1^6)9 sont respectivement équivalents aux rectangles

BLMD , LMEC ; d'ailleurs , ces rectangles et le carré BCED ont tous

trois pour hauteur commune BD; donc, en vertu du lemme établi

COMPARAISON DILS AIRES. l83

ùu /)"* SI5I, ils sont entre eux comme leurs bases BL , LG, et BC. Ainsi, on a la relation :

AB^ : AC« : BC« :: bl : LC : BC.

GoBoi^ukiBE m. — De ce que les deux carres ABFG , AGIR , sont équivalents aux rectangles BLMD , LM£G , on déduit encore séparément (n^ SIS) y