IQO LIV. II. — CHAP. II. — § I

|0 — Trouver la corde AB de la somme de deux ares AC, CB. connaissant les cordes de ces arcs.

Nommons , pour abréger , a , 6 , c, les trois côtés BC, AC, AB, du triangle ABC (*) , et r le rayon du cercle circonscrit à ce triangle ; tirons d'ailleurs le diamètre COC = ir, ainsi que les conte AC', BC [que Ton peut nommer supplémentaires , comme soateodant des arcs A€S BC» supplémentaires de AC, BC].

Cela posé , le quadrilatère inscrit ACBC' donne » en Tertu à théorème précédent ,

AB X ce =: AC X BC -f- AC X CB;

mais, des triangles CAC, CBC, rectangles en A etB (v^ iVd\, on déduit (n*" 204)

AC = V^CC» — ACS BC = \/CC» -- BC; ou, à cause de CC = 2r, AC = ^, BC = a, AC = v^4r» — b\ BC= v/4r' — a\

L'égalité ci-dessus devient donc

e X tir = b . v^4''' — a' -h fl . j/4'"' — b^;

d'où (i) c = — . v/4r» — fl» -f- ~ . /4r» — 6»,

formule qui détermine la valeur numérique de c , en fonction de a , ^ , et r : [il reste à efTectuer les opérations arithmétiques indiquées par le second membre]. Fie. iSfi. ^** — Trow?er la corde ^ AB = c [fig, i56 ), du double d'un arc, connaissant la corde, BC z=z a ^ de cet arc.

Il suffit de poser b=i a^ dans la formule précédente, qui donne

(*) Quand on veut exprimer par une seule lettre chacun des c6tës d «^ triangle quelconque, il est dWage de représenter ces c6téB, respeciîTe^ meot par les lettres, en petits caractères, qui désignent les sonmets d^ angles opposés. — Ainsi, a, by c, sont los côtés opposés aux an{;lH A,B,C

LIGNES PaOPORTlONKELLËS DANS LE CERCLE. I9I

alors

c= -^ . \l ir^ — a' -h ~ . yJir^-^a\ oa simplement , '2) c =z ^ , ^ 4'"' — ^ ' •

3" — Trouper la corde de ia moitié d'un arc , connaissant la :orde de cet arc,

Poisqae c est la corde de l'arc doable, et a la corde de l'arc Bmple, tout se réduit à résoudre l'égalité (a) par rapport à a.

Mais on peut arriver au même résultat , par le moyen de la ^ure i56. — On a, en effet , dans le triangle CBC^ Fig. i56.

CB> = a X CC' (n*» 226, jco/. n ).

)r, a = OC — 01 = OC — v^OB» — BI' (n» 204);

Toù a =r r— %/ r* — î- là cause de BI = — = — 1 •

)onc fl» = 2r ir — i/r' — yj == 2r* — r s/ ^r^ — c' ;

* par conséquent ,

3) a = >l ir^ --r ^ ^^ — c' (*).

Nous ne pousserons pas plus loin ces applications , qui renfernent quelques difficultés algébriques ; mais nous engagerons les énnes gens qui ont l'habitude de ces sortes de calculs , à dégager ioit/r,soit 6 de la formule (i}^ ce qui donnera Im corde sl ou h de la ^fférence des deux arcs, au moyen des cordes cethouade ces arcs.

On peut même, en supposant connus a, 6, r, tâcher de déterùner r; ce qui donne alors la valeur numérique du rayon du cercle circonscrit à un triangle , au moyen de ses trois côtés.

(*) Cette expreMion peut d^ailleun être transformée en ar «il éirrant Tane oa Tautrc au carré, on trouve égolcmont