ÉVALUÂT. DIS COTÉS ET DBS AI&ES DANS LES FOLVG» RÉGULIERS
N.B. — U est à remarquer que la démonstration précédente fournit un moyen géométrique de développer le nombre incom-
jnensurable yâ en fraction continue.
Nous aurons bientôt Toccasion de rencontrer d*autres lignes remarquables y qui sont dans un rapport incommensurable avec la ligne prise pour unité.
§ IL ^ Evaluation des côtés et des aires dans les polygones réguliers quelconques.
Observation préliminaire, — Quelques-unes des propositions gui feront partie des paragraphes suivants, sont plutôt des probièmes à résoudre que des théorèmes à démontrer, puisqu'elles ont pour objet spécial la détermination de certaines grandeurs inconnues, au moyen d'autres grandeurs supposées connues. Mais eonmie ce sont des problèmes théoriques, nous donnerons à ces propositions la forme ordinaire des théorèmes.
THÉORiME I. {Fig, 81.) FiG. 81.
s® 233. — L'aire d'un pofygone régulier quelconque ABCDEF m égale à la moitié du produit de son périmètre par l'apothème DG ou le rayon du cercle inscrit.
En effet , les triangles égaux et isoscèles OAB, OBG, OCD, .\ . (n^^isa), donnent
OAB = AB X OBC =r BC X
OG
OG
OCD = CD X ^,... {n"2i7);
donc aire ABCDEF = ( AB -4- BC -f- CD 4- ... ) X ^^
on , pour abréger, A = - P X R >
194 i''^« I'* — CHAp. n. — § II.
A déflignaok Taire da polygone, P le périmètre , et r Tapothème,
ou le rayon du cercle ipscrit.
ScoLiE. — Nommons R le rayon du polygone (n® ISS), n le nombre des côtés , et a un côté quelconque.
Le triangle OGA donne OG = \/0A»-— AG' (n« «04} j d'où, en
AB a employantlesnotations convenues, et observantqueAG= — =.- -,
On a d*aiileui*s P = /i . a ;
na v^4R' — «' donc A = ^"7 ;
ce qui donne Texpressîon de Taire d*un polygone, quand on en connaît le côté^ le rayon y et le nombre des côtés.
TnioEÀME II.
N^ 254. — Les périmètres de deux polygones réguliers semblables sont proportionnels aux rayons des cercles inscrits ou circonscrits; — et — L£urs aires sont proportionnelles aux carrés de ces mêmes rayons,
Nous avons déjà reconnu (n® SOO) que deux polygones ré* guliers d'un même nombre de côtés sont des figures semblables.
Réciproquement: deux polygones réguliers, pour être semblables, doivent avoir un même nombre de côtés; car si 4e nombre des côtés était différent dans ces polygones, les angles de Tun n« seraient pas égaux aux angles de l'autre (n® 135); ce qui impliquerait contradiction avec la propriété du numéro 196.
Il suit de là que les angles au centre ainsi que les angles à la base, sont égaux chacun à chacun dans les deux polygopes; donc , les triangles isoscèles qui ont leurs sommets aux centres de ces po^ lygones, sont, chacun à chacun, équiangles et semblables. Lc^ rayons des cercles inscrits et circonscrits sont alors des lignes ho>
iVALUAT. DBS AIEES^BT DES COTÉS DANS LES »OLTG. RÉCUUEES. \g5
nioiogues; et, en appliquant à ces polygones la proposition générale du n® Sti , on est conduit au théorème énoncé ci-dessus.
Soient R et R', ret r', a et û', P et P', A et A', les rayons , les apothèmes y les côtés homdogues , les périmètres, et les àitts , de ces deux polygones ; on a les relations
Théokeme^III. (Fig. 107^) ^ . Fio. 107.
>'^S5tf . — Connaissant le côté [AB = a], «r /<? /u^o/i [OA=R] d'un polygone régulier [àe n côtés ], on peut toujours obtenir — \^ — la valeur du côté AC du polygone régulier d'un nombre socs DOCBiA de côtés i -—2^ — la valeur du côté AI dut polygone rrgulier d'un nombre double de côtés; — 3^ — enfin, le rayor^ Olft d it côtéViiS^ du polygone circonscrit semblable au polygone proposé. . ; ; .
[ Le rayon R est commun aux trois polygones dont AB , AG , AI , sont les côtés. ] .
i*^ — Gomme AG sputen4 un arc doubla dç Vs^ff aoutepdu. par àB=atîi suffit de r^mplac^r dans la ibnnule.(2) du numéro V^i , *- par AC, et r par R.
11 vient (1) AC =ib ^V4R' — «'•
1^ — On obtient de même la Ttiléur de AI, an moyen delk for> mule (3) du même numéro, en y posant r = R, ^et a'-rt AIJ ce ^donne
21 AI= v'aK' — Rv^4R' — «'.
3*> — Quant aux valeurs de OM et de MN , les deux triangles semblables OMN, OAB, dont 01 et OK sont des Kgnes homologues, donnent
OM : OA :.:,oi : Oïl, 4'oii* ou = * '^ , MN : AB :: Oi ; Q^,. dou, MN =^^^?^
ig6 LIV. II. — CHAF. II. — § It.
maîsona OA.=rOI = R, AB = a, 0K== - VÎ^^— «'(n«»204)j donc (3) 0M = — J:^L=, MW= ^'''^
ScoLiE. — Conuaissant le rayon et le côté de chacun des trois nouveaux polygones, on peut en déduire les Yaleurs de leurs aires, en remplaçant ^ dans la formule
. /ïii V4R' — «'
/t, a^ Ry par les valeurs respectives qu'on vient d'obtenir [n doit être remplacé par - pour le premier polygone , par 2#t pour le second; il reste le même pour le troisième].
Fia 107. TnioaiiiElV. (/^^. 107.)
N" 956. — Connaissant les aires A , B , rftf ^*£ix polygones réguliers, l'un inscrit, l'autre circonscrit d'un nombre n de cotts [ AB et MP^ en sont les côtés] , on peut toujours obtenir les aires a! y B'y des deux polygones réguliers, l'un inscrit, l'autre circonscrit, d'un nombre double de côtés.
Nous avons déjà va ( n® 166) que AI et mn soat les côtés de ces deux polygones.
Remarquons en outre que Ton a 9 diaprés \aL figure , les reUtioa^ suivantes :
A=2/i.0AK, B = 2/î.0MI, A'=2/t.0AI, B' = 2n,0Amli
d*où il suit que les rapports entre les aires A, B , A'^ B'» comparées deux à deux, sont les mêmes qu'entre les aires des troi^ triangles OAK, OMI, OAI, et du quadrilatère OAmI ; ainsi , tout si réduit à déterminer les rapports qui existent entre ces quatre deiH nières figures.
Cela posé , on a d'abord, en comparant lés trois triangles OMI,'
ÉVALUÂT. DES COTÉS IT DES AI&IS DANS LES POLVO. RÉ6ULIEKS. IÛ7
GAI , OAK 9 et observant que AK est parallèle à MI ,
om : OAi :: OAi : oak {n^' u9 , scoVe] ^
ou, remplaçant ces rapports de triangles par ceux des polygones^
donc déjà (i) A' = v^A.B.
En second lien, comme dans le triante OMI, la droite Ont divise l'angle O en deux parties égales , on a la proportion
M/71 : /Tii :: OM : oi (n«îO«).
Or, les deux triangles OMm, Oml, ayant même hauteur 01,
donnent
OUmlOml :: Mm : iTiI (n<>5litf);
et d'un autre côté, les triangles OAI, OAK, ayant aussi même hauteur AK , on a
OAI : OAK :: oi : OK :: om : oa :: OM : Oi; ^
il en résulte donc OMin : 0ml :: OAI : OAK, et par conséquent ,
OUm -h Owl : Oml :: OAI -f- OAK : OAK ,
ou, doublant les conséquents, et observant que
OMi7t + 0/7iI=::OMI, et 20mI=:0AmI,
OMI : OAmi :: oai -+- oak : 2 oak.
Substituant enfin , conformément à la remarque .qui a été faite plus haut, à la place des trois triangles OMI , OAI , OAK, et du c[uadri]atère OAiiiI , les polygones dont ils font partie, on obtient
, 2A.B ^, aA.B
Donc B' = -- n ou B' =
A-4-A' A ^- VÂTB
ScoLiE. — En jetant les yeux sur les deux formules qu^on vient.
ig8 uv. II. — cHAP. n. — § ii.
d'obtenir, il est aise de voir que Ton a les deux relatM>iis A' ^ A, niaisB'<^B.
En effet, on a d'abord v'^ÂTb > V^ArÂ> v/A'>> A; dooc
Ensuite -;, pouvant se mettre sous la forme B X
est moinire que B, puisque ■> ■■ ^ est <^ -— ou <C > •
Ainsi , — Les aires des polygones réguliers inscrits à une ménKcirconférence de cercle , augmentent de plus en plus; — et, au contraire,-^i>i/9a(^go/ser réguliers cimonscHts diminuent de plus en plus, à mesure que le nombre des côtés devient de ^ en n /bis plus grand.
C'est ce qu'on recœinaît aussi facilement à l'inspection de la figure. — Cette remarque nous sera bientôt fort utile.
Évaluation des eAtés et des aires dans les polygones réguliers d^unç
espèce donnée,
FiG. i58. TniéoaiMB V. {Fig, i58. )
N° 257. — La edté AB de Vhexagof^ régulisr inscrit est égal au rayon.
Menons OA et OB ; TangleO du triangle OAB vaut les j- ou les f d'un angle droit (n? BO) ; il reste donc pour les deux autres angles , 2 — Y , ou les 7 d'«/i angle droit j. et comme on a OA ^=: OB , il en résulte angle OAB = angle OBA = |; ainsi le triangle OAB est équilatéralf et donne
