LFV. II. — CHAP. II. — § II

ScoLiE. — On pourrait , à l'aide des expressions obtenues dans le numéro 955 , déduire de la valeur précédente^ œlles des côtés du pentagone et des polygones de 20, 4^9 ••• côtés, et par suite, celles des polygones circonscrits correspondants.

Mais il existe une relation très-remarquable entre le rayon et les deux côtés du décagone et du pentagone. FiG. 160. Considérons les côtés AB, BC [fig. 160), du décagone, et le côk AC du pentagone. Menons les rayons OB , OC , et la bissectrice OK de Tangle BOG ; puis joignons le point B au point I où cette bissectrice coupe le côté AG.

Gela posé , les deux triangles isoscèles ABG , BIG , sont sembla-

blés comme ayant l'angle G commun, et les angles CAB, IBC, égaux tous deux à Tangle G ; on a donc la proportion

AC : BG :: BG : IC; d'où AC X IC = BC.

Pareillement, les deux triangles AOG, AOI , sont semblables : car

ils ont d^abord l'angle A commun ; de plus, les angles OCA , AOI ,

sont tous deux égaux aux ^ à^un angle droit, le premier , comme

valeur de l'angle à la base d'un pentagone régulier (n® 135) , le se-

cond par construction j puisque AOK = AOB -h - OBC = ^ 1 ;

et la similitude de ces triangles donne encore la proportion

AG : OA :: OA : Ai; d'où AC X AI = OA».

second degr^ , dont Taae des racines est le résultat qu^on vient d^obteuir Désignons par R le rayon du cercle, et par x la partie de ce rayon qoi doit être moyemne proportionnelle : — On a la proportion

d'où Ton déduit x* -*- Rx = R*,

. . «. . — R d: v^R« -t- 4R" R/ ^ /r. ou , résoWant réquation , x = •■ — = — l— i :±: y S j.

La valeur qui correspond au signe supérieur estx = -(-> IH-^)^ et

c'est la seule qui réponde directement à la question; car Pautre, outre qu'elle est négative, est numériquement plus grande que R.

KVAL0AT. DES COTHS ET DBS AIEBS DANS LES POLYO. RÉOULIBAS. ao3

Âjoutoos maintenant , membre à membre , les deux égalités (ju'on vient d'obtenir ; il vient

AC X IC -h AC X AI, = BC' H- 0A% ou, réduisant, AC = OA' + BC;

p'est-à-dire que — Le côté du pentagone régulier inscrit est égal à Vhrpoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit uraient le rayon et le eSté du décagone régulier inscrit,

TnioEiME Vni.

840. — Le côté du pentédécagone régulier inscrit est la corde de fa différence entre les arcs soutendus respectiçement par les côtés de V hexagone et du décagone ;

\ 1 lo — 6 I

car on a ^ r= — -; = — = ;

o lo oo i5

ce qui fait voir encore que — La différence entre les arcs soutendus parles côtés de l'hexagone et du décagone, est égale au quinzième df la circonférence entière,

CoEoixAiRE. — \j^ pentédécagone étant inscrit , on en déduit facilement les polygones de 3o , 6o ,.. . côtés.

Quant aux valeurs numériques de leurs côtés , il faudrait d'abord , pour le pentédécagone , avoir recours à la formule qui [n^ %3i) donne la corde de la différence de deux arcs au iDoyen des cordes de ces arcs , et ensuite faire usage des formules du numéro 113K.

Scoux GiniEAi.. — Il résulte de œ qui vient d*étre dit dans les ^tre derniers numéros, et des principes établis dans ce para- ^phe , que Ton a

1** — Des méthodes géométriques [c'est-à-dire des méthodes où Ton ne fait usage que de la règle et du compas] pour construire les Hygones réguliers inscrits et circonscrits de 3, 6, 12, 24,..*, 4*4,8, 16, 32,..., de 5, 10, 20, 4o,..., enfin de i5, 3o,6o,....

2o8 LIV. II. — CHAP. lU — § IIX.

infiniment petits : — pes côtés sont dits alors leséiémenis de la courbe.

Et cette nouvelle définition du cercle , si elle ne parût pas trèsrigoureuse au premier abord , a du moins Tavantage d'introduire plus de simplicité et de précision dans les démonstrations.

D'après Tordre logique des théories , nous devrions traiter d*abord de la mesure des circonférences de cercle ^ ]K)ur passer ensuite,à la détermination des aires des figures circulaires. Mais h première question offrant, par sa nature, quelques difEc^ulies d'exposition, et n'étant au fond qu'une série de problêmes ntunériques, sera mieux placée à la fin du paragraphe dont le 3* chapitre [celui des problèmes] doit être la suite immédiate.

Détermination des aires circulaires»

THioaiME I.

N^ 246. — L'aire du cercle est égale à la moitié du prvdmit de la circonférence multipliée par le rayon.

En effet, considérons une série de polygones réguliers circonscrits , dont le nombre de côtés devienne de 2 en 2 fois plas grand. Les superficies de tous ces polygones ont pour mesures respectives ( n® 255 ) la moitié du produit de chaque périmètpe multiplié par le rayon [lequel rayon est constant pour tous ces polygones]; donc aussi Vaire du cercle , qui est la limite de ces polygones ( n° 844), a pour expression la moitié du produit de la circonférence [limite des périmètres] , muldpliée par le rayon.

AuTEEMxirT : — Tout polygone régulier ayant pour mesure U moitié du produit du périmètre par le rayon, le cercle, qui n'est autre chose qu'un polygone régulier d'un nombre infini de côtes ( n° S4lf ) , a aussi la même mesure. Donc, etc.

ScoLiE I. — Soient R, G, et S , le rayon, la circonférence, et Taire d'un cercle quelconque. — On a

[ S est un nombre abstrait qui exprime le rapport de la surface du cercle à l'unité de surface , et G , R , les rapports de la circonférence et du rayon à l'unité linéaire (n<* 941). ]

IlESUat DU CERCLE. ikOQ

ScOlik II. — On peut dire aussi que — L'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle qui aurait pour base la circonférence rrctijtée (n*MI), et pour hauteur le rayon du cercle.

C'est une conséquence évidente de Texpression que l'on vient de donner pour l'aire du cercle , et de l'expression de l'aire d'un triangle (d® 9ilf).

THXOEiMS II.

N*My, — I* — Dans deux cercles quelconques, les circonférences [ C et C ] sont proportionnelles aux rayons [ R et K' ] ou aux diamètres [2R et 2R']; — 2*> — JLej aires [S et S'] sont proportionnelles aux carrés des rayons,

i'* — Concevons (n<^ 845) une série de polygones réguliers dont le nombre des côtés devient de 2 en 2 fois plus grand, circonscrits à la circonférence C, puis une série de polygones, circonscrits à la circonférence C, et semblables aux premiers; et désignons par R , R'> les apothèmes constants de ces deux séries de polygones , par P, F, les périmètres de deux polygones semblables, pris, l'un dans la première série, l'autre dans la seconde.

Gela posé , nous aurons ( n** S84) la proportion

proportion applicable à deux quelconques de ces polygones semblables; donc elle devra encore exister pour les limites C et C do lean périmètres : ce qui donne