CHAPITRE

PROBLÈMES SUR l'ÉTENDUE DANS LES FIGURES PLâKE».

Ce chapitre aura trois paragraphes y dont \e premier traitera de la construction des lignes proportionnelles et de quelques prohlème qui en dépendent ; le second contiendra des problèmes sur les airrs des figures rectilignes et circulaires » et le troisième, des applications purement numériques sur les lignes et les surfaces.

Comme les principes de Vanalyse et de la discussion des problèmes ont été suffisamment développés dans le troisième chapiir du. premier livre, nous insisterons peu dorénavant sur œs deox parties , surtout en ce qui concerne les problèmes Les plus ék^ y mentaires. !

S I. — Construction des lignes proportionnelles.

Fie 169,170. PaoBLiME L {FUg. 169, 170.)

N** 963. — Partager une longueur donnée AB en un nombre n départies égales.

Pour fixer les idées , nous supposerons qu'il s'agisse de partager la droite AB en 5 parties égales.

Premiers coNSTRucnon , fondée siur le théorème du numéro 181 : FiG. 169. — i^ — Au point A {/ig. 169) , tirons une droite indéfinie AX qm forme avec AB un angle quelconque ; — 2? — portons sur cette droite , à partir du point A , 5 parties égales , Àp^pq, qr^^.»^ d^one longueur arbitraire; — 3° — Joignons l'extrémité b de la dernière partie au point B ; — 4° — par tous les autres points de division Pt 9 9 '*>••• 9 menons ( n° 1 54) des parallèles à B^ ;

La droite AB sera divisée (n^ IBl) en 5 parties égales par ces différentes parallèles..

COHSTEUCTIOH DBS LIGNES FAOPOBTlOmrELLBS. 23 1

y. B, — Ce moyan a rinconvénient d'exiger la construction - (l*un grand nombre de parallèles.

ScooimE coKSTEVcnoir. — i * — Aux points A et B formons d^iix angles alternes-internes BAX, ABT {fig. 169), égaux entre eux; Fie. 169. — n^ — portons sor les droites indéfinies AX, BY, et à partir des points A, B, 5 parties toutes égales, mais d*une longueur arbi- * traire; — 3** — joignons deux à deux par des droites les points de division correspondants [ou de même numéro d*ordre];

Elles diviseront AB en 5 parties égales aux points P, Q, R.... En effet, d'après la construction, les deux droites AX, BY, sont parallèles (n° 47); et comme on a kp'=zap\ pq^=p'fj'^»*'i il s*en> suit que kppfa , pqq'j^^^*» sont des parallélogrammes (a® 71) ; donc A/2, pp\ qtf^''* sont parallèles ; donc y etc.

iV^. B, — Le moyen que nous venons d'indiquer n'exige j à proprement parler, que la construction directe des deux pamllèles AX, BY, puisque toutes les autres /»/>', qq'f* se trouvent déterminées par la jonction de points donnés, pris deux à deux. Du reste, le priocipe fondamental est toujours le même.

TaoïstàvE coNSTEucTioN. — I® — Comtruisez sur AB un triangle équilâtéral CAB (fig. 170); — ^° — après avoir porté sur le Fie. 170. côté CA [prolongé si cela est nécessaire] 5 parties égales d'une longueur arbitraire, ce qui donne une certaine longueur CA', prenez CB'= CA% et tirez A'Bf: le triangle CA'B' est semblable k CAB (n** i9l), et par conséquent équilâtéral lui-même; — 3" — reporte» sur A'B' les mêmes parties que sur CA', et tirez les droites

Cp, Cq, Cr,. .. : elles diviseront aussi AB en 5 parties égales (n° SOI).

.Y. B. — Afin que les points de division P, Q, R,..., de AB, M)ient déterminés d'une manière plus précise , il convient que la droite AB soit située entre le point C et la droite A'B'; or, on peut toujours remplir cette condition en prenant sur CA' des parties d'une longueur suffisante.

Il existe encore d autres moyens de résolution, qui tous ont pour but d*éTiter Temploi des parallèles. — Mais le second moyen

23a wv. n. — cHAp. m. — § i.

indiqué xi-dessus est celui dont ou se sert 1« phis comnumément dans la construction des échelles pour le levé des plans,

ScoLiK I. — La division d*une droite en 2, 4» ^v* parties égales ti'est qu'un cas particulier du problème précédent; mais k mode de construction du n^ ItfO est préférable , en ce qu^il n'exige que la description de deux, parties de circonférences se coupaot en deux points quUl sufïït ensuite de joindre par une ligne droite. 1

ScoLiB II. — Nous avons vu précédemment les moyens dV jouter des droites , de soustraire une droite d*une autre ^ d€ mut- ' tiplier une droite par un nombre; le problème précédent donne le moyen de diviser une droite par un nombre; enfin, nous avons exposé (n® t itf) le procédé pour obtenir le rapport de deux droites^ ce qui est la seconde manière d^envisager la division.

Fie. i6q, 170, « , •» / ^. /* X

,nT. PaoBiànK II. {Fig' 169, 170, 171.)

N" 264. — Diviser une longueur donnée AB en parties proportionnelles à celles d'une autre droite donnée MN, ■

Chacun des modes de construction indiqués pour le problème précédent est applicable à celui-ci : la seule différence consbte en ce qu*au lieu apporter sut AX [fig* 169) ou sur GA {Jîg. 170^, des parties égales, il faut/?orffr des parties respectivement égales aux lignes ^p^pq^ qr {fig. 191),..., qui composent la droite M>' , puis reporter ces mêmes parties, maïs dans un ordre inverse, ■ sur BY [fig. 169) ou sur À'B' {fig, 1 70).

N" 26^5. — ScoLiE. — On pout avoir à — Diviser unç droite AB Fie. 17a. (fig. 1 72) e/î parties proportionnelles à deux lignes données [ M et N]; — ce cas particulier mérite une attention spéciale.

^Construction, — i° — Par les points A et B menez deux droites AX, BY, sous une direction quelconque, mais parallèles entre elles [ce qui revient à faire deux angles alternes-internes égaux BAX, ABY]; — 2° ^portez sur AX et BY, des parties AC, BC', respectivement égales à M et N ; — 3*^ — tirez la droite CC, qui rencontre AB en D.

La droite AB se trouvera divisée au point D dans le rapport donné.

GOASTRUCTIOH DES LIORIS PEOPOETIOISISLLES. 333

Car les deax triangles DAC , DBC, sont évidemment semblables, bidonnent AD : DB :: AC : BC :: M : N.

N. B. — Si 9 au lieu de porter N dans le sens BY, on porte cette ligne en sens contraire , de B en C", et qu'on joigne le point C au )oiDt Cj la droite CC^ ira rencontrer la droite AB prolongée en un >oint jy qui sera le i^nt conjugué du point D (n^ SOS, scoL II).

En effet, on a

ikiy : Biy :: AC : BC :: M : N :: ad : db..

N** 266. — CoKOLXAiHE. «^Le 5co//^ précédent fournit le moyen le résoudre une autre question qui se reproduit souvent dans les applications, et dont voici Ténoncé :

Deux droites AB, CD[fig. 173), concourant en un point trop '^vi. 173. éloigné pour être déterminé sur unefeaiUe de dessin, mener par m point, O ou (y, intérieur ou ejotériear à l'angle des deux droites, we troisième droite, OL ou O'L', qui passe par le point de concours des deux premières.

PunixEK CAS. — I** — Après avoir tiré par le point 0 unQ droite ^ quelconque EOF, menons par un point G pris à volonté sur AB^ la droite GK. parallèle à EF; — 2*^ — divisons GK, qui est connue de longueur, en parties proportionnelles aux deux longueurs EO, OFy. aussi coxmues.

La droite LO sera la droite demandée ; — car, puisqse Ton a la

proportion GL : LK : : EO : OF,

0 s'ensuit (n® SOI, réc.) que les trob droites G£, LO, KF, concourent en un même point.

Second c4S. — !• — Après avoir tracé, comme ci-dessus, les deux parallèles EO'F', GK', déterminons sur EO' le point 0 conja^ué du point O' par rapport a EF ; — 2P -^ divisons GK de manière que l'on ait GL : LK :: EO : OF j — 3» — déterminons W point L' conjugué du point L.

La droite L'O' sera la droite demandée.

En effet, puisque les points O, 0', sont conjugués, on a (n® S02 ,

^rol. n ) la proportion EO' ': FO' : : EO : OF .

a34 !!▼• II- — CHAP. m. — § I.

De même y puisque L et U sont copjugués, on a la propoitloB

GL' : KL' :: GL : lk;

mais par constructioii,

GL : LK :: eo : OF;

donc aussi GL' : KL' : : EO' ! FO',

ou bien GK : KL' :: EF : FO'.

Donc (a^" fiOt , r^cip^) les trois droites G£ , KF, L'Cy, conooiireot en un même point.

N, B. — Dans la conslmctiôn qui vient d'être exposée, on peut déterminer le point L' directement , sans quUl soit besoin de oodstruire d'abord son conjugué L.

Fie. 174, 175. PaoBLiMB m. (F7g. 174, 175.)

N® 1167. — Construire une quatrième proportionnelle à trou lignes données, M, N, P; — en d*auti%s termes, — Trout^ruM • ligne X , qui forme le qt^rième terme d'une proportiam dont les trois premiers soient des lignes données]. M, N, P [M étant le premier terme].

PRExiiES CONSTRUCTION. — i® — Après avoir formé un angle Fie. 174. quelconque XAY (/Ig. 1 74) , prenons sur AX, AB = M , BC = î^ , et sur AY, ÂD = P, puis tirons BD ; — 2" — menons par le point C la droite CE parallèle à BD.

Le segment DE sera la quatrième proportionnelle demandée. Car on a (n? 185)

ab:bc::ad:DE, ou m:n::p:de;

puais on doit avoir aussi

donc X = DE.

DcuxiiME CONSTRUCTION. — Au Ueu de porter les droites M et N sur AX, Tune à la suite de Tautre, on peut les porter à partir

CONSTHUCTION DKS LIGNES PaOPOBTIONHBLLES. 235

du même point A sur cette droite, c'est-à-dire prendre AB =: M , AC = N ; et après avoir pris sar AY, AD = P, joindre le point B au point D , et mener la droite GE' parallèle à BD.

La droite A£^ sera la quatrième proportionnelle demandée :

Car on aura encore

AB : AC :: ad : AE', ou M : N :: P : AE';

fonc X = AE'.

N. M» — Cette deuxième construction a Tayantage de donner une figore mcrfns étendae. — Seulement, il faut avoir le soin, dans cliaque construction , de joindre d'abord les extrémités des deux droites qui forment les antécédents de la proportion.

Taoïsiàn QOssTaucnoir. — i^ — Sur une droite AX {fig. 175), Fie. 175. ffrrnons AB = M , AC = N ; — 2^ — au point B menons, sous un angle quelconque ABT, une droite BD = P, et joignons le point A au point D ; — 3** — par le point C menons CE parallèle à BD.

La droite CE sera la quatrième proportionnelle cherchée :

Car nous aurons

AB : AC :: bd : CE, ou m : N :: p : ce;

d'où X = CE.

N. B. — Quel que soit celui des trois modes de construction que l'on emploie, il est clair que Ton obtiendra toujours la même longueur pour X, puisque cette ligne résulte de la détermination du quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sontM9N,P.

Ce sont d'ailleurs les circonstances seules où Fou se trouve placé pour la résolution d*un problème , qui déterminent le mode de construction le plus avantageux à employer.

CDaoi.LAiax. — On déduit de là immédiatement la solution du problème suivant :

Un point 0 (fig. 176) étant donné dans l'intérieur d* un angle ¥tQ. 176s YAX , mener par ce point une droite DOE telle, que les segments DO , CE , soient entre eux dans un rapport donné , M : N.

Îl36 MV- II. — CHAP. III. — § I.

STNTHissB. — i^ — Par le point O menez OB parallèle à ÂT;ao — construisez une quatrième proportionnelle aux trois ligim M , N , AB ; — 3^ — poFfez cette quatrième proportionndle de B en E sur AX , et tirez EOD.

Vous aurez la ligne demandée;

Car, puisque OB est parallèle à AD, il en résulte

CD : OE :: AB : BE :: M : n.

N. B. — Dans le cas particulier de M = N , il suffit de prendre sur AX, BE = AB,et de/r/vr£OD.

Lorsque le point donné O est sur la bissectrice de l'an^ YAX. le problème général admet évidemment deax solutions.

FfG.177, 178. PaoBLiMB IV. {Fig, 177, 178.)

N® 868. — Construire une troisième proportionnelle à deitz lignes données [M et N] ; — c'est-à-dire — Trouver une ligne \ j qui /orme le second extrême d'une proportion dont le premier foit ' une ligne donnée f/L^ et les deux moyens soient égaux à une se ^ conde ligne donnée N.

A proprement parler, ce problème n*est qu^un cas pardailier du problème m, et peut se construire d*après les mêmes moyens.

Mais il est quelquefois plus avantageux d*avoir recours au deux constructions que nous allons indiquer.

PasMiiEB coNSTBucTioir. — i^ — Sur une droite indéfinie AX Fie 177. {fig, 177) prenons AB = M, et dérriwms sur cette droite uiw demi-circonférence (n® itti) ; — 2** — du point A , avec un ravoo égal à N décrivons un arc de cercle qui coupe la demi-cîrcoii' férence en un point C ; — 3° — abaissons du point G la perpen<ii« culaire CD sur AB.

La droite AD est la troisième proportionnelle demandée.

En effet , on a (n<* 11116, scol. U)

AB : AG :: AG : ad, ou m : n :: n : ad;

mais on doit avoir aussi

donc AD = X.

CONST&UCTION DES LIGRKS PHOPORTIONNELLI'.S. 287

N, B, — Cette construcrion suppose que M est supérieur on au iDoiDs égal à N , tandis que la suirante peut être employée dans tous les cas.

Deuxième cokstruction. — i** — Sur une droite AX {fig. 178), Fie. 178. et en un point quelconque A, élevons [n^ 148) une perpendiculaire AB z= N ; — 2** — prenons à gauche du point A une distance AC ^= M, et tirons CB; — 3** — au point B élevons BD perpendiculaire à BC :

IVous aurons AD pour la ligne cherchée.

En effet, on a(n''S05)

CA : AB :: AB : ad, ou m : n :: n : AD;

donc AD := X.

N, B. — L'extrémité D de AD sera d'autant plus éloignée du point A 4 que M ou AC serïi plus petit par rapport à N ou AB. Hais la construction est toujours possible.

Problème V, ( Fi g. 1 79 et 1 80. ) ^^i^

N® 269. — Construire une moyenne proportionnelle entre deux «

lignes données, M et N ; -r- en d'autres termes , — Trouver une ^igne X qui forme à la fois les deux moyens d'une proportion dont !es deux extrêmes soient deux lignes données ^M et N.

Premiers coNSTRtiCTioir. — Sur une droite indéfinie AX fis- '79)» P^f^ AB = M, BC = N; puis sur AC = M -♦- N -|-N, iécHvez une demi-circonférence , et élevez au point B la perpendînilaire BD.

Cette perpendiculaire est la ligne cherchée; — car on a

AB : BD :: BD : BC^ou M : BD :: BD : N;

donc BD. = X.

Deuxième construction. — Sur la droite indéfinie AX (fg» 180), ^rtez M et N de A en B et de A en C ; puis sur AB comme diamètre, décriiez une demi-circonférence , et élevez en C la perpendiculaire CD.