LIV. II. GHAP. III. — § I

La corde AD sera (d^" SSG , scoL II) moyenne proporûonneUe

entre AB et AG, c'est-à-dire entre M et N.

/ Troisième construction. — Les deux droites M et N étant en-

Fic. i8o. cote portées sur AX {/ig, 180) , de A en B et de A en C, décrwa

sur la différence GB comme diamètre une demi-circonférence, ei

menez du point A (n* 170) la tangente AD.

AD sera la ligne demandée (n^ fiSO ). )

N.B. — Le second mode de construction est, en général, le plu^ simple des trois, parce que la figure est moins étendue ; et Ton ne. doit employer le troisième qu'autant que Ton a déjà une demicirconférence décrite sur la différence des deux lignes donne» M et N ; ce qui arrive quelquefois d'après la nature de la question que Ton a en vue de résoudre.

N® 270. — ScoLiE GÉNiiRAL sur les lignes proporHonnelles. liCS trois proportions

M : N :: P : X, M : N :: iv : x, M» : x :: x : >,

donnent lieu aux égalités suivantes :

X =— ^- , X=^', X« = MXN, ouX=v/Mx^.

Ges égalités, desquelles réciproquement on déduit les propartions , jointes à ces deux-ci ,

X = v/m* 4- NS" X = s/M' — N%

forment ce qu'on appelle, dans \di Géométrie et dans V application de l'Algèbre à la Géométrie, les expressions élémentaires de la construction des lignes.

L'expression )JW -h N» est , comme on l'a déjà vu , Vkj-ptjtémisé d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont M etN.

L'expression v/M' — N* représente un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle dont M est V hypoténuse et N Vautre côté.

Or, nous avons exposé (n" 162) les moyens de construire un

cûasnucnoH des ucnbs t>bopORTiOH)rai.LBS. 33q

iDgIe rectangle , longue l'on connaît — i " — les deux côtés de ngle droit, — 2" — l'hypoténuse et UM e6lé. Mosi nous pouédona tous les matériaux nécessaires pour la istmetion géométrique des lignes. Cependant, comme il importe ramiliatiser les commençants avec ces sortes d'opérations , nous i(|uerons encore les moyens de construire quel<pies radicaux nériques [du second degré].

)ans un cercle dont le rayon est supposé égal à i, I". t/^ est la corde AB (Jig. i8a) du quadrant; ai d'autres Fw. 183 Ms , c'est le cdté du carré inscrit ;

•■'. \% est la corde AD du double de l'arc soutendu parle côté = I de lltexagone : c'est le côté du triangle éqailaiéral inscrit ; l". V^ = ^4 + • = V^M^est l'hypoténuse A£ du trianrectangle ayant AA' = 2, A'E=OB=i, pour c6tés de igle droit ;

i°. ^= ^4 + ^ = Va' + (^)' est l'hypoténuse d'un ngle rectangle ayant AA' = 2 et AB = ^ , pour c6tés de Igle droit ;

)u hien encore ^ = ^3 X a est une moyenne proporlionle entre les lignes ^cprimées par 3 et par 2.

En général , sent H un nombre entier composé de deux facieuTS tp, i/tï oa ^n^ p est une moyenne proportionnelle en-

" « P- Dans tons les cas >/m ou ^H X 1 e»t une proportionnelle en-

U et I.

!4oDs terminerons ce paragraphe par la résolution de quelques iblèmet dont la construction h réduit , en demièw analyse , à le de lignes proportionnelles.

PbobiAmk VI. (FSg. i83.) Fk. i82

N'STl. — Diviser une ligne donnée AB en moyenne et ox-

Noos avons déjà eu occasion (n^ fiS9) de traiter celte qootk» sous un point de vue numérique. — Mais le scolie du n* 9S8o fournit une solution purement géométrique^

Synthèse. -*- i** — Au point B éleçez la droite BO perpendiculaire à AB et égale à j AB , puis tirez AO ; — 2? — du point 0 comme centre^ avec le rayon OB j décrivez une circonférence qni • rencontre AO au point G ; — 3** — rabattez AG de A en D par vu arc de cercle :

La droite AB sera divisée au point D en moyenne et extrême

En effets d'après la construction, AB est une tangente au cercle OB; et si Ton prolonge Au jusqu'à sa rencontre en C avecla circonférence, on a (n^ ^28) la proportion

AC' : ab::ab : ag;

d'où AG' — AB : AG::AB — AG : AG.

Or, AG' = AG4-CG'=AG-hAB, d'où AC'— AB = AC = AD,

et AB — AG=rAB — AD = BD;

la proportion devient donc

AD: AB :: BD : AD; ou, mettant les moyens à la place des extrêmes,