AP NP

La ligne inconnue X est donc une quatrième proportionnelle aux trois lignes données AP, NP, MN ; on construira cette ligne X comme il a été indiqué n» 161.

PreMème*

!9t6. f Construire un triangle équivalent à un polygone donné; 2* un carré équivalent au même polygone,

Pour construire un triangle équivalent k un polygone donné ABCDE, on mène d'abord une diagonale BD qui détache du polygone un triangle BGD; par le sommet G ainsi séparé, on mène une parallèle à la diagonale BD jusqu'A la rencontre en 1 du côté ED ( adjacent à BD) prolongé, puis on joint le point 1 à l'autre extrémité B de la diagonale. On obtient o"x D i ainsi un triangle BDI équivalent k BCD; car ces deux trian-

gles ont la même base BD et miîne hauteur , puisque les sommets G et 1 sont situés sur une parallèle GI à la base conunune. Gela posé, on peut remplacer le triangle BGD par le triangle BDI ; ce qui donne le quadrilatère ABIE équivalent au pentagone ABGDE.

Dans ABIE on sépare encore un triangle BAE en menant une diagonale BE; par le sommet séparé A on mène AO parallèle à la diagonale , jusqu'à la rencontre delE prolongé; on tire OB; le triangle OBE équivaut au triangle ABE^ remplaçant ABE par OBE , on obtient le triangle BOl = ABIE = ABGDE.

Pour construire un carré équivalent à un polygone donné ABGD , on construit d'abord un triangle équivalent à ce polygone , puis un carré équivalent au triangle.

ProMème.

«tiO. Cofistruire un carré équivalent à la somme ou à la différence de deva ynr carrés donnés.

Soient m et n les côtés des carrés donnés et x le côté du carré cherché. Si on vent un carré équivalent à fn»+n^ on fait un angle droit A ; sur l'un des côtés on prend une longueur AB = in, et sur l'autre AB = n; on tire GBr

CB est le côté du carré cherché; car CB' = ÂB*4-Âc' =

Si l'on veut un carré équivalent à m* — n*, on construit un angle droit GAD; on prend sur l'un des côtés une longueur AG = n ; du point G comme centre avec une ouverture de compas égal à m, on décrit un arc de cercle qui coupe le second côté de l'angle droit en D ; on tire GD ; AD est le côté du carré cher-' ché. En effet, CD = w; AG = n;

m«=:n« + AD ; d'où AD* = m« — n«.

On peut aisément construire un carré équivalent à la somme de plusieurs carrés donnés :

On construit d'abord le côté d'un carré équivalent km^-\-n^', x'* z=.m^-\-n'^i puis le côté d'un carré équivalent à rc'* + p« ; «"» = ap'* + p* = m* + n« -f p« , et enfin le côté xf" d'un carré équivalent k xf'* + q» ; xf"^ = «''« -f- q* = m« + n« + p* + q*. On obtiendrait d'une manière analogue le côté d'un