LIVRE IV

carré équivalent à la somme de plusieurs carrés diminuée d'un ou de plusieurs carrés donnés.

ProMème»

•l'S^. Construire un carré qui soit à un carré donné a* dans un rapport

donné f celui de 3 à 4, par ex. :

On veut avoir — = - ou «• = - a*.

Sur une ligne indéfinie » à partir d'un point À ^ on prend 3 + 4 ou 1 lon-^

gueurs égales quelconques; sur la longueur totale AB comme diamètre , on décrit une demi-circonférence ; au point G , extrémité de la 3* division» on élève une perpendiculaire CD ; on tire DÂ, DB; sur DB on prend une longueur DI = a, et

par le point I , on mène IH parallèle à ÂB ; la ligne DH est

A c Hjg ç^^^ ^y çQ^^ cherché. En effet, le triangle ADi étant

rectangle , on a , d'après un théorème démontré (n» 202) ^

DH« HF AC 3 Dl» ~ FI "" CB ~ 4 •

Si a était plus grand que DB, on prolongerait D6 et DA. Pour prendre

DI = o, etc.

x^ tn Si m et n étant des lignes données, on devait avoir -- =~, on pren-

drait sur une ligne indéfinie AC=m et GB=n, puis on achèverait comme

dans le cas précédent.

lPr#t»lèiiaéé

tM9. Deux polygones semblables étant donnés, en construire un troisième qui leur soit semblable et qui soit équivalent à leur somme ou à leur différence.

Soient M et N les aires des figures données , m et n deux côtés homologues de ces figures; X Taire de la figure demandée, x le côté de cette figure homologue à m et II. On doit avoir X = M+N, ou X=M— N. Or, d'après un

théorème connu , — = --; d'où résulte — - — = — (1). D'un autre

». , .Xaî*,, ««, «XM-f-N,

coté , on a aussi rr = -r (2 ). Comme X = M + N , — = — r; — ; donc

î! — ^* + ^* . d'où x*=2m*-\' n«. Si l'on devait avoir X = M — N , on n* n*

arriverait de même à x*=zm*'-n\

Construire x revient donc à construire le côté d'un carré équivalent à m* 4- n* ou à m» — n*] x étant construit, on construira sur », comme côté homologue à m, une figure semblable à la première figure donnée.

Les figures données peuvent être des triangles, des polygones ou des cercles ; dans ce dernier caSi m et n seraient le» rayons.

Problème.

<ifl9. Construire un polygone semblable à un polygone P, et qui soit à ce polygone dans un rapport donné.

Ex. : X = - P.

Supposons le problème résolu , et soient p et x deux côtés homologues des

polygones P et X ; on sait que — = -^ ; mais on doit avoir — = - j donc

d'un carré donné p; on construira x comme il a été indiqué n« 217, et sur a, comme côté homologue à p , on construira un polygone semblable au polygone donné.

ProMème.

MO. Construire un polygone X semblable à un polygone donné P et équivalent à un autre polygone donné Q.

Soit a un côté quelconque du polygone P et a; le côté homologue de X. On

doit avoir — = ^ ; mais X = Q , donc tt = ^. Construisons le côté p d'un

carré équivalent à P et le côté q d'un carré équivalent à Q ; P =ap*, Q = 9*,

donc ^ = — , d'où - = -. On aura x en construisant une quatrième proporq* X* q X 1 «- r

tionnelle aux lignes connues p, ^ et a.

Si on voulait avoir X = - Q, on construirait ç«= - Q.

ÂppLiGATiOM. Construire un hexagone régulier équivalent à un polygone donné.

Tous les hexagones réguliers étant-des figures semblables, j'inscris on hexagone régulier dans un cercle quelconque ; puis je construis un polygone X semblable à cet hexagone et équivalent au polygone donné. Qn remarquas que le côté du carré équivalent à l'hexagone est moyen proportionnel entre le demi-périmètre et l'apothème ; «• = 3c X a.