AC , AD, AE
i^ La perpendiculaire est plut courte que toute oblique;
S** Deux obliques AC, AD qui sVcartent également du pied de la perpendictdaire sont égales ;
3" De deux obliques AE , AC qui ^ s'écartent inégalement y celle qui s'é^ carte le plus est la plus longue.
!• On a AB<AC; en eflfet, dans le plan ABC la perpendiculaire AB est plus courte qu'une oblique quelconque AC (livre I, n° 42).
La plus courte distance d'un point à un plan est donc la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.
2« Si la distance BD = BC, Foblique AC = AD.
En eflfet, les deux tiiangles rectangles ABC, ABD ayant le côté AB commun, BC = BD par hypothèse, sont égaux; de là résulte AC = AD.
3° Si on a BE > BG , Toblique AE est plus grande que AC. En effet, on peut sur BE prendre une longueur BD=BG et tirer AD; Toblique AD=AC; mais dans le plan ABDE, Toblique AE est plus longue que AD (livre I, n° 42); donc AE> AC.
236. Les réciproques des théorèmes précédents sont toutes vraies.
i® Deux obliques égales s'écartent également de la perpendiculaire; car si elles s'écartaient inégalement, celle qui s'écarterait le plus serait la plus longue.
De deux obliques inégales, la plus longue s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire.
La démonstration est facile.
S37. Rkmarque. Les pieds G, D de toutes les obliques égales menées d'un point A à im plan MN sont situées sur une ciroonfé-
lis COURS DE GÉOMÉTRIE.
rence de cercle , ayant pour centre le pied de la perpendiculaire menée du point A sur ce plan. On déduit de là un moyen mécanique de mener une perpendiculaire d'un point donné extérieur sur un plan donné ; on mène du point A au plan MN au moins trois obliques égales entre elles; on fait passer une circonférence par les pieds de ces obliques sur le plan MN ; la ligne qui joint le point A au centre de cette circonférence est la perpendiculaire demandée.
258. Une droite AB étant perpendiculaire à un plan MN , si du pied B de cette ligne on mène une perpendiculaire BD à une ligne CE du plan MN, puis qu'on joigne un point quelconque de AB au point D , la ligne AD ainsi menée est perpendiculaire sur CE. Pour le démontrer, je prends sur EC, à partir de D, deux longueurs égales DC, DE; puis je mène BE, BC, AE, AG. Sur le plan MN, les obliques BE, BG sont égales comme s'écartant également du pied D de la perpendiculaire BD (DE = DC). Dans l'espace, les deux obliques AE, AG au plan MN qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire (BE = BG), sont égales entre elles. La ligne AD qui va du sommet du triangle isocèle AGE au milieu de la base AE est perpendiculaire à cette base (n°36). G. Q. F. D.
Ce théorème est connu sous le nom de théorème des trois perpendiculaires (AB, BD, AD).
DROITES PARALLÈLES DANS l'eSPACE.
Tltéorèine.
259. Par un point G, donné dans l'espace, on peut toujours mener une parallèle à une droite donnée AB , mais on ne peut en mener qu'une.
LIVUE V.
D'abord le point G et la droite donnée déterminent un plan CÂB dans lequel on peut toujours mener une parallèle CD à la droite AB (livre!, n' 51).
On ne peut mener par le point G qu'une parallèle à la ligne AB.
En effet, supposons qu'on en puisse mener deux GD, GE ; les deux parallèles AB, GD sont dans un même plan ABGD; les deux parallèles AB, GE sont dans un même plan ABGE ; les deux plans ABGD , ABGE ne sont qtfun seul et même plan, celui que nous avons appelé GAB; car ils ont avec celui-ci trois points communs G, A, B, non en ligne droite. Il y aurait donc, dans le même plan GAB, deux parallèles menées à la même droite AB , par le point G ; ce qui est impossible (livrel, n'^Bâ).
Tltéorème.
240. Si deux lignes sont parallèles ^ tout plan (MN) perpendiculaire à Vune (AB) est perpendiculaire à Vautre,
Le plan ABGD des deux parallèles coupe le plan MN suivant
une droite BG; la ligne AB (perpendiculaire au plan MN), étant perpendiculaire à la droite BG , sa parallèle GD est aussi perpendiculaire à BG (livre I, n** 55) ; il suflSt donc de prouver que GD est perpendiculaire aune se- 2^ conde droite menée par son pied G dans le plan MN. Pour cela je mène dans ce plan une perpendiculaire lE à BG, et je tire AG ; en vertu du théorème de trois perpendiculaires (n* 238), la ligne AG est perpendiculaire à lE; lE étant perpendiculaire à deux lignes GB, GA, qui passent par son pied dans le plan ABGD, est perpendiculaire à ce plan, et par suite à la ligne GD qui y est située. Réciproquement GD est perpendiculaire à lE; comme elle Test déjà à GB, elle est perpendiculaire au plan MN. G. Q. F. D.
RECIPROgUK.
241. Deux lignes AB, CD perpendiculaires au même plan jVIN, sont parallèles entre elles.
En eltiet^ si CD n'était pas parallèle à AB^ on pourrait par le point
C mener une parallèle CE à AB; AB étant perpendiculaire au plan MN, sa parallèle CE le serait aussi ; il y aurait donc au même point C deux perpendiculaires CD^ CE au même plan; ce qui est impossible. Il est donc également impossible que CD ne soit ^ pas parallèle à AB.
