LIVRE I

opposé. Ex. : dans le triangle ABG^ BC est la base et A le sommet.

De régalité des triangles ABD, ADC il résulte que Tangle ADB, opposé au côté AB est égal à Fangle ADC^ opposé au côté AG; la ligne AD est donc perpendiculaire sur BC. De plus l'angle BAD = DAC.

Ainsi^ dans un triangle isocèle^ la ligne qui joint le sommet au milieu de la hase est perpendiculaire d cette base, et divise Vangle au sommet en deux parties égales.

Tltéorème*

57. Si deux angles d^un triangle sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux ; le triangle est isocèle. Soit le triangle ACB tel que Tangle B = Pangle C ; je dis que le

côté AG = AB. Pour le démontrer , je construis un triangle ach exactement égal au triangle AGB; le côté a6 = AB, ac= AG,... l'angle a=A, 6=:B,...; cela fait, retournant ce triangle ach, sens dessus dessous, de droite à gauche, je le transporte sur AGB, en mettant le côté 6c retourné sur son égal CB, le point c en B et le point 6 en G; le côté ca, partant ainsi du point B, tombera sur BA, puisque Tangle c=G=B; le point a tombera donc quelque part sur BA ou sur son prolongement. De même le côte ba, partant de C, tombera sur CA, puisque Tanglc 6 = B = C; donc le point a tombera quelque part sur la ligne GA ; le point a une fois placé sera donc à la fois sur les deux lignes BA et GA ; donc il ne peut tomber ailleurs qu^au point A , qui est le seul point commun à ces deux lignes. Le point a étant sur A et c en B, le côté ca coïncide exactement avec BA; ca=BA; mais ca est égal à GA par construction; donc CA=BA; ce qu'il fallait prouver.

Tltéorème*

58. De deux calés d^un triangle, celui-là esl le plus grand qui est opposé au plus grand angle ^ et réciproquement y de deux angles

d*un triangle, celui-là est le plus grand qui eii opposé au plus grand côté.

V Soit par exemple l'angle ABC plus grand que Tangle C;

je dis que le côté AC est plus grand que AB.

Pour le prouver, je mène la droite BD de telle sorte que Tangle DBC = l'angle C ; j'ai ^ ainsi un triangle BDC qui est isocèle d'après

le théorème précédent ; DC=DB; mais dans ^ le triangle ABD, on a AB<AD + DB; ce qui, à cause de DB = DC, revient à AB < AD + DG, ou AB < AC ; ce qu'il fallait démontrer.

2o Réciproquement, supposons que l'on ait à priori le côté AC plus grand que AB; je dis que l'angle ABC est plus grand que l'angle C. En ejffet, si l'angle ABC n'était pas plus grand que Tangle C, il serait égal à C ou plus petit. Si l'angle ABC était égal à C, AC serait égal à AB (n* 37), ce qui est contre l'hypothèse. Si l'angle ABC était plus petit que C, on aurait, d'après 1**, le côté AC plus petit que AB , ce qui n'est pas. L'angle ABC ne pouvant être ni égal à l'angle C, ni plus petit que lui , est plus grand.

PROPRIÉTÉS DES PERPENDICULAIRES ET DES OBLIQUES MENEES d'uN