LIVRE V

Tltéorème*

^244. Si une ligne AB est parallèle à un />/«nMN, Vintet'section CD du plan W^ et d^ un plan quelconque mené par KR est imrallele à AB.

En effet, si AB rencontrait CD elle rencontrerait le plan M N ; donc AB ne rencontre pas CD; d'ailleurs ces deux lignes sont dans le même plan ; elles sont donc parallèles.

Corollaire. Un plan MN et une droite AB étant parallèles, si on

mène, par un point C du plan y une parallèle à AB, cette parallèle CD est située dans le plan MN. En effet, si cette ligne CD n'était pas située dans le plan MN, Tintersection du plan ABCD des deux parallèles et du plan MN serait une droite CE, parallèle à AB (théorème précédent) ; par le même point C il y aurait donc deux parallèles à la même ligne AB , ce qui est impossible. Il est donc également impossible que CD ne soit pas dans le plan MN.

Tltéorème*

24S. Les intersections AB, CD de deux plans parallèles MN, PQ

par un même plan RS, sont parallèles entre elles.

En effet, AB et CD ne peuvent se rencontrer; autrement les plans MN, PQ , dans lesquels elles se trouvent, se rencontreraient; d'ailleurs AB, CD sont dans le même plan RS; ces deux lignes sont donc parallèles.

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COLUS DE GEOMETRIE.

Tltéorèine*

246. Deux plans perpendiculaires à la même droite sont parai' lèles entre eux.

En effets si les plans MN^PQ n'étaient pas parallèles^ ils se

rencontreraient suivant une droite IK; joignons un point de IK aux pieds B et G de BC. Cette ligne BC, perpendiculaire au plan MN^ est perpendiculaire à CO. De même BC est perpendiculaire à OB du plan PQ; il y aurait ainsi deux perpendiculaires menées du point à la même droite BC^ ce qui est impossible; il est donc également impossible que les plans MN ^ PQ se rencontrent. C. Q. F. D.

Tltéorème.

247. Si deux plans sont parallèles^ toute droite perpendiculaire à l'un (MN) est perpendiculaire à l'autre.

Menons par le pied C de AB, sur le plan PQ, une droite quelconque CO. Les deux lignes AB, CO déterminent un plan qui coupe le plan MN suivant une ligne DI parallèle à CO (n° 245). Dans ce plan ACO, on remarque que AB, perpendiculaire au plan MN , est perpendiculaire à DI , et par suite à sa parallèle CO. On démontrerait de même que AB est perpendiculaire à toute autre ligne, ex.: CF, passant par son pied dans le plan PQ; donc AB est perpendiculaire au plan PQ.