LIVRE V
Tltéorème*
857. A des angles dièdres égaux correspondent des angles rectilu gnes égaux , et réciproquement.
i* Soient ABDC^ GHEF deux dièdres égaux , auxquels corres- ^ ^ pondent les angles rectilignes ABC, GHF. Je fais
coïncider les deux angles dièdres ; pour cela je pose le plan GHE sur ABD, en mettant BD sur HE et le point H en B; cela fait, le plan FHE coïncide de
M. lui-même avec CBD j autrement, l'angle dièdre GHEF J serait plus grand ou plus petit que ABDC. Les plans coïncidant et la ligne HE étant sur BD, HG perpendiculaire à HE coïncide avec BA, perpendicu-
laire à BD ; HF coïncide de même avec BC; les an-
I ^^^ gles rectilignes ABC, GHF coïncident et sont égaux.
Réciproquement, quand les angles rectilignes ABC, GHF, correspondent à des dièdres BD , HE , sont égaux y ces dièdres sont égaux.
En effet, transportons la figure GHEF sur la figure ABDC, en mettant le plan GHF sur ABC; les angles rectilignes étant égaux pourront coïncider; HG se placera sur AB et HF sur BC; les plans ABC, GHF coïncidant, le point H étant en B, la ligne HE perpendiculaire au plan GHF ( n® 229) coïncidera avec la ligne BD perpendiculaire au plan ABC. Cela étant, les plans GHE, ABD, passant par les mêmes droites AB, BD qui se coupent, coïncideront; les plans FHE, CBD de même.
2S8. CoROLLAiRiî. A un angle dièdre droit correspond un angle
rectiligne droit , et réciproquement.
Soit le plan AP perpendiculaire au plan MN (n® 255); menons à Tintersection, AB, une perpendiculaire 10 dans le plan AP et une perpendiculaire COD dans le plan MN.
Les deux angles dièdres PABN, PABM étant égaux,leurs correspondants rectilignes lOD, lOC sont égaux; ces angles rectilignes sont adjacents dans le plan ICD; donc ils sont droits.
La réciproque est évidente.
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COURS DB Qt(WÉTRIB.
S39. En général , deux angles dièdres iont entr^ eux comme les angles rectilignes correspondants.
Supposons qu'une conunune mesure ABI des angles rectilignes
soit contenue trois fois dans ^ ABC et quatre fois dans EFO; par définition , le rapport de ces angles rectilignes^
ABC EFO
Faisons passe? un plan, dans chaque dièdre, par chaque ligne de division de l'angle recliligne et par Taréte; nous avons ainsi sept angles dièdres, partiels, ^gaux comme correspondant à des angles rectilignes égaux; il y a trois de ces dièdres dans le dièdre proposé ABDC, quatre dans le
dièdre EFCO. Donc ^^^^
3 ABDC^ABC^^^Q^p^j^^
EFCO 4' EFCO EFO Évidemment cette démonstration s'applique quelle que soit la commune mesure des angles rectilignes ou dièdres j notre théorème est donc vrai en général.
IflSURB DES ANGLHS DiÈDaCS.
260. Un angle dièdre a pour mesure Sangle rectiligne qui lui correspond.
Mesurer un angle dièdre, c'est trouver son rapport à Funité des angles dièdres.
L'unité des angles dièdres est Tangle dièdre droit, conune l'unité des angles rectilignes est Tangle rectiligne droit ; nous avons vu que ces deux unités se correspondent (n'' 258).
Cela posé, si on considère un dièdre quelconque ABDC et rangle rectiligne correspondant ABC, on a d'après le théorèniQ précédent:
LIVEB y. 159
ABDC __ ABC i dièdre droit "^ i droit *
Le nombre qui exprime la mesure de l^angle dièdre est égal à
celui qui exprime la mesure de l'angle rectiligne; c'est ce que
signifie renoncé précédent. Ex. : si Tangle ABC = -- droit, Tangle
dièdre ABDC vaut les 3/4 d'un angle dièdre droit.
Rrhàrqub. Mesurer un angle dièdre revient à mesurer Tangle rectiligne coiTCspondant; mesurer celui-ci revient à mesurer Tare de cercle décrit de son sommet comme centre et compris entre ses côtés. Mesurer un angle dièdre se réduit donc en définitive à mesurer un arc de cercle.
