LIVRE V

DES ANGLES SOUDES^ TRIÈDRES OU POLTàDRES.

264. DÉFINITIONS. On appelle angle solide ou polyèdre la figure

que forment plusieurs plans qui se rencontrent en un point S, limités à leurs intersections

consécutives SA, SB, SG,

Le point commun S est le sommet de Tan-

gle solide; les intersections SA, SB, SG,

en sont les arêtes; les angles ASB, BSC, CSD, etc., que forment les arêtes, sont les faces ou angles plans de la figure.

Nous ne considérerons que des angles solides convexes, c'est-àdire tels que dans chacun le plan d'une face , prolongé indéfiniment^ laisse toutes les autres faces du même côté.

Quand les faces sont au nombre de trois seulement, l'angle solide prend le nom d'angle trièdre.

Un angle trièdre comprend six parties ou éléments déterminés; ce sont les trois faces ASB, ASC, BSC, et les trois dièdres SA, SB, >/ / B ^ \ se, que celles-ci forment deux à deux.

Tliéorèiiie*

265. Dans tout angle solide trièdre , un angle plan quelconque ^ est moindre que la somme des deux autres.

U n'y a lieu évidemment à démonstration que si une des faces est plus grande que chacune des deux autres. Soit ASC cette plus grande face ; je construis dans l'angle ASG l'angle CSD =CSB; dans le même plan ASC, je mène une ligne ADC qui coupe les trois lignes SA, SD, SC ; je prends ensuite sur la troisième arête une longueur SB=SD, et je mène les lignes AB, BC. Les deux trian-

gles SCB, SCD ont le côté SC commun , SB = SD par construction; Tangle GSB = CSD; ces deux triangles sont donc égaux ^ etCD=BG. Dans le triangle ABC, on a AC<AB + BC; ce qui revient à AD + GD <AB + BC; d'où, en retranchant CD=BC, on conclut AD < AB. Les deux triangles ASD, ASB ont le côté SA commun, SD=SB et le troisième côté AD < AB; donc, en vertu d'un théorème démontré (livre I, n» 32), Tangle ASD<ASB; ajoutant d'une part Tangle DSC et de l'autre son égal CSB, on trouve enfin :

ASD + DSC ou A8C<ASB + CBB. C.Q.F.D.

Vltéorèiiie.