LIVRE V

sommet S^ qui ne sont autres que les faces de l'angle solide pfo-* posé). L'addition faite, on a donc :

2^droiu 4 droits ^ 2»^'«»»» — S.

Pour que Ton ait un reste moindre en retranchant 4 droits de 4n*'*"" qu'en retranchant S de la même grandeur, il faut évidemment que Ton ait A droits > S , ou S < 4 droits. C. Q. F. D.

Tltéorème*

• 867. Deux trièdres qui ont les faces égaies chacune à chacune ,

ont leurs dièdres égaux chacun à chacun.

Supposons que l'on ait ASB^A'S'B'; A9C = A'S'C'; B8C = B'S'C. Prenons, à partir de S et S' les longueurs égales SA , SB, se, S'A', S'B', S'C, et menons AB, BG, AG,A'B', A'C, B'C. Nous formons ainsi quatre triangles d'une part, et quatre de Tautre, qui sont égaux chacun à chacun. Les triangles isocèles ASB, A'S'B' sont égaux comme ayant un angle (en S et S) compris entre côtés égaux; de même les triangles isocèles ASC, A'S'C; puis BSG, B'S'G'; enfin les triangles ABG , A'B'G' ont les trois côtés égaux chacun à chacun ; AB = A'B' ( égalité des triangles ASB, A'S'B' )^ etc. Cela posé, menons au point D, pris quelconque sur SB, une perpendiculaire DH à cette ligne dans le plan ASB, et une perpendiculaire DE dans le plan ASC ; DE et DH ( qui rencontrent AB, et AC du côté des angles aigus SAB, SAC), forment Tangle rectiligne EDH correspondant au dièdre SA du premier trlèdre proposé. Prenons A'D' = AD et faisons au point D' la même construction qu'au point D, J'angle E'D'H' = dièdre S'A'; il nous faut démontor que EDH=:E'D'H'. En effet, les triangles ADH, A'D'H'sont égaux comme ayant le côté AD = A'D', leursangles en D et D' droits, rangleDAH=:D'A'H' (égalité des triangles ASB,A'S'B');doncAH==A'H'; DH=D'H'.De même les triangles

DÂE, D'ATl' ont AD= AD', leurs angles en D et ly égaux ^ et les angles DAË,D'A'E' égaux; ces triangles étant égaux, AE=zA!Ei DE = D'E'. Les triangles AEH , A'E'H' sont égaux ; car AH = AB'; AE=A'E', l'angle EAH=E'A'H' (égalité des triangles ABC, ATB'C); donc EH =£11'. Enfin les triangles DEH, DE'H' ayant, d'après ce qui précède, les trois côtés égaux chacun à chacun, sont égaux; donc l'angle EDH=E'D'H'; donc dièdre SA = dièdre S'A'. On démontrerait, par des constructions analogues faites sur les arêtes SB, S'B', que le dièdre SB = S'B'; de même SC = S'C'. Notre théorème est donc vrai.

i^^ Rebiarqub. Dans les trièdres qui ont les faces égales et par suite les dièdres égaux, les dièdres égaux sont compris entre des faces égales chacune à chacune.

268. 2* Remarque. Deux trièdres qui ont tous leurs éléments égaux

Ca)

chacun à chacun ne peuvent pas toujours coïncider; il faut que les faces égales des deux figures soient semblablement disposées.

On peut placer les trièdres comme nous l'indiquons ici V fig. (1) et (2); 2* fig. (1) et (3). Les faces égales ASC, A'S'C, ou ASC, A''S"C", sont sur le même plan (celui de la figure, par exemple); les côtés de ces angles parallèles deux à deux, et dirigés dans le même sens, les arêtes SB, S'B', ou SB, S'^B'", situées du même côté de ce plan (en avant, par exemple). Les trièdres ainsi placés, il ne peut se présenter que deux cas : ou bien , 1* fig. (1) et (2), les faces égales ASB, A'S'B' sont semblablement placées par rapport à ASC, A'S'C (toutes deux à gauche); ou bien, 2"" fig. (i) et (3), tandis que ASB est à gauche de ASC, son égale A"S"B" est à droite de A"S"C^ Dans le premier cas , les deux trièdres peuvent coïncider ; en effet, fig (1) et (2), la face A'S'C étant mise sur ASC, S'A' sur SA et S'C sur se, comme le dièdre SA = S'A', la face A'S'B' s'applique sur ASB, et SB sur S'B'. Dans l'autre cas, au contraire, fig. (i) et (3), si on essaye de faire coïncider les deux trièdres^ on est