LIVRE V

obligé de placer S"G" sur SA et S"A" sur SC ; autrement les deux trièdres se trouveraient placés de côtés différents de leur face commune. Mais S"G" étant sur SA , comme le dièdre S''C" n'est pas , en général, égal au dièdre SA, la face C"S"B" ne s'applique pas sur ASB, pas plus que A"S"B" sur CSB.

3» Remarque. Si la face ASB était égale à BSC, d'où il résulterait dièdre se = dièdre SA, les deux trièdres ne pourraient manquer de coïncider; il n'y aurait plus à distinguer. entre la droite et la gauche.

Tbéorème*

260, Si on prolonge les arêtes d'un irièdre SABG au delà du ç" B-' A" sommet , les prolongements déterminent un nouveau trièdre dont toutes les parties sont évidemment égales à celles du trièdre proposé ( angles opposés par le sommet) ; néanmoins ces deux trièdres ne peuvent pas coïncider.

En effet, remarquons d'abord que si ASC est sur le plan de la figure, et SB en avant de ce plan, A'SC" est sur le plan de la figure, mais SB" est derrière ce plan , et par suite les faces C"SB" et A 'SB\ Pour faire coïncider les deux trièdres, il faut préalablement ramener en avant le trièdre SA^'B^'C", en lui faisant faire une demirévolution autour de la bissectrice des angles G"SA, A"SG, comme axe. Mais cela fait, les deux trièdres auront évidemment la disposition (1) et (3) (fig. précéd.]. Gar ASB étant à gauche de ASG, A'^SB" sera à droite ; les trièdres ne pourront donc pas coïncider.

Tbéorème*

990. Deta trièdres qui ont un angle dièdre égal, comf»ris entre deux faces égales chacune à chacune, sont égaux dans toutes leurs parties.

1* Les trièdres peuvent avoir la disposition (1) et (2) (flg. précédente); alors ils peuvent coïncider comme nous l'avons démontré tout à Tbeure; ils sont done égaux dans toutes leurs parties. Ou bien ils ont la disposition relative (1) et (3); alors Us ne peuvent coïncider; mais si on prolonge les arêtes du trièdre (1), on

166 COURS DE GÉOHÉTRIE.

obtient un trièdre qui» ramené en attnt, aura tes liMes diepoiéea eommé «eUa du trièdre (3) et pourra coïncider avec lui. Les deux trièdres proposés (1) et (S) sont donc égaux dans toutes leurs parties.

On démontre de même la proposition suivante : deux Irièdres sont igoMtt dani UmUs Uwrt partiêi quafid ils ont une face égalé ad}ûeeniê à deuat iUdm égaux chacun à chacun.

APPENDICE

Tliéorèiiie.

991. Chaque point du plan bissecteur d'un angle dièdre est également distant de ses faces; tout point pris dans V angle dièdre y aiUeufs que sur lepîan bissecteur, est inégalement distant des faces.

Soit M un point du plan EBG , bissecteur du dièdre ABGD ; j'abaisse de M les

perpendiculaires MI , MH sur les faces ABC , DBG ; il faut '^ prouver que MI=MH. En effet, le plan IMH perpendiculaire aux plans ABC, DBG (361) est perpendiculaire à. leur intersection BG, qu'il rencontre en un point 0; ses intersections avec les plans ABG, EBG, DBG, sont les droites OH, OM, 01, respectivement perpendiculaires à BG. Les angles rectilignes, HOM, MOI mesurent les angles dièdres égaux ABGE, EBGD; ils sont donc égaux. Les triangles, MOH, MOI, rectangles en I et H sont donc égaux, et MI = MH.

Soit maintenant un point, N, situé hors du plan bissecteur EBG; abaissons les perpendiculaires NI et NP sur les faces DBG, ABG| le plan INP perpendiculaire à ces faces (261), et par suite à leur intersection BG, coupe les trois plans suivant les lignes 01, OM, OP ; OM est la bissectrice de l'angle lOP; le point N n'étant pas situé sur cette bissectrice , on a NP < NI (!*' livre).

le plan bissecteur d^un angle dièdre est donc le lieu géométtique ébêê po(nU également distante de ses faees.

Trièdres supplémentaires.

Tbéorème*

!S7!i. 5t d'un point pris dans Vintérieur d'un angle dièdre On abaisee des fl«^ pendiculaires sur les faces, l'angle de ces perpendiculaires est le supplément de l'angle dièdre.

Si cette proposition est démontrée pour un point M pris dans l'intcricur du dièdre, elle le sera pour tout autre point M' également pris dans l'inlérieiir..