LIVRE V

Ëti eflél, ftl de ohaenn des points M, MS on abaisse des perpendiculaires snr les Itoei Au dièdre , les angles M et M', ayant les oOtés parallèles et dirigés dans le inétne sens, seront exactement les mêmes.

Gela posé, je prends un point M du plan bissecteur (figure précédente), et j'âbalise les perpendiculaires MH, MI ; le plan IMH perpendiculaire aux fices ABC, DBG est perpendiculaire à leur intersection BG; l'angle HOI mesare donc le dièdre ABGD ; mais dans le quadrilatère HOIM , qui a deux angles droits, I et H , la somme des deux autres angles HOI + IMH =2 droits. G. Q. F. D.

Remarque. Le plan IMH coupe le plan bissecteur suivant OM; Tangle IOM=

HOM=- HOI est aigu; les perpendiculaires MI, MH ne peuvent donc manquer

de tomber sur les faces mêmes de Tangle dièdre, et non sur leur prolongement; rareté BG traverse le plan IMH dans l'intérieur de l'angle IMH.

Tiaéorème*

993. Si d'un point pHs dans Viniériewr d'tm angle soHdê îrièdm SABG, on

mène des perpendiculaires MP, MQ, MR auoB faces ASB, ^G, ASG, le trièdre MPQR, qui a ces perpendiculaires pour arêtes, et le trièdre proposé jouissent des propriétés suivantes : !• les faces de MPQR sont respectivement supplémentaires des angles dièdres de SABC ; 2" réciproquement, les faces de SABG sont respectivement supplémentaires des dièdres de MPQR. A ca'use de ces propriétés, les deux trièdres sont dits suppléa mentaires Vun de Vautre.

Observons d*abord que si on démontre cette proposition pour un point quelconque, M^ situé dans l'intérieur du trièdre SABG ^ elle sera démontrée par tout autre point M' également situé dans Flntérienr; en effet, si de chacun de ces points on mène des perpendiculaires aux &ces de SABG, les deux trièdres M et M', ayant leurs arêtes parallèles et dirigées dans le même sens , sont égaux dans toutes leurs parties et même superposables. Nous prendrons le point M sur l'intersection, SM, des plans bissecteurs des dièdres SA, SG; ce point M, également distant des trois faces, se trouve en même temps dans le plan bissecteur du dièdre SB. Il résulte de là que chaque perpendiculaire, MP, par exemple, tombe sur la face même ASB du trièdre proposé et non sur le prolongement de cette face; et de plus que chacune des arêtes SA du trièdre SABG traverse la face correspondante PMR de l'autre trièdre dans l'intérieur de l'angle PMR.

1** Cela posé, il résulte du théorème précédent que l'angle PMR est supplément du dièdre SA; l'angle PMQ est supplément du dièdre SB, etc.

2« Le plan PMR perpendiculaire aux plans ASG, ASB est perpendiculaire à leur intersection SA, et réciproquement. De même, SG est perpendiculaire au plan QMR, et SB au plan PMQ. De plus, les perpendiculaires SA, SG tombent, ainsi que nous l'avons remarqué, dans l'intérieur des angles PMR, QMR et non à côté (remarque précédente); le point S est dans l'intérieur du dièdre MR; il

168 COURS DE GÉOMÉTRIB.

est de même dans Tintérieur do dièdre HQ et dans rintérieor du dièdre HP. Cela posé, il résulte du théorème précédent que l'angle ASC est le supplément du dièdre MR , BSG est le supplément du dièdre MQ» et ASB supplément de MP. C. Q. F. D.

Si le point S était en dehors d'un de ces dièdres, une des perpendiculaires an moins tomberait sur le prolongement d'une des faces de ce dièdre.

Tltéorèmc*

974. Deux trièdres qui ont leurs dièdres égaux chacun à chacun sont éganu dans toutes leurs parties.

En elTet, soient S et T les deux trièdres proposés; S' et T' les trièdres supplémentaires. Los dièdres de T et de S étant égaux chacun à chacun, leurs suppléments, c'est-à-dire les angles plans de S' et T' seront égaux chacun à chacun ; les trièdres S' et T', ayant leurs angles plans égaux chacun à chacun, sont égaux dans toutes leurs parties. Les dièdres de S' et T' étant égaux, leurs suppléments, c'està-dire les angles pians de S et T sont égaux chacun à chacun.

On démontre de même le théorème suivant :

Deux trièdres qui ont une face égale adjacente à deux dièdres égaïux sont égaux dans toutes leurs parties.

LIVRB VI. 169