DES POLYÈDRES
DÉFINITIONS
275. On appelle solide polyèdre y ou sim^Xemeai polyèdre ^ un corps ou solide tenniué de toutes parts par des plans ou faces planes. Ces plans sont eux-mêmes terminés par des lignes qui sont les arêtes ou côtés du polyèdre.
Us forment des angles solides dont les sommets sont dits les sommets du polyèdre.
Le plus simple des polyèdres est celui qui n'a que quatre faces^ et qu^on nomme tétraèdre; il faut, en effet, trois plans au moins pour former un angle solide; ces trois plans laissent un vide qui, pour être fermé, exige un quatrième plan.
On appelle encore en particulier hexaèdre le polyèdre qui a six faces ;, octaèdre celui qui en a huit; dodécaèdre celui qui en a douze, icosaèdre celui qui en a vingt, etc.
Un polyèdre est régulier quand toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux entre eux, et que tous ses angles solides sont égaux.
S76. Un prisme est un solide compris sous plusieurs parallélogranunes terminés de part et d^autre à deux polygones égaux et parallèles.
C0DR3 DE Gtei^TRIK.
On peut construire un prisme de la manière suivante : étant donné un polygone quelconque, ABCDE, et un plan parallèle UN, on mène des divers sommets A, B, C autant de droites parallèles AK,EI,CH... à la rencontre du plan MN. Les plans consécutifs ABIK,1BCH,... rencontrent MN -■■? suivant des droites Kl, IH,... qui
forment un polygone KIHGF égal au proposé ABCDE. Ces deux polygones et les parallélogrammes ABIK, IBCH, etc., qui vont de l'un à l'autre, fcmnent te prisme ABCDEKIHGF.
Les deux polygones ABCDE, KIHGF sont les base» du prisme; les parallélogrammes ABIH, etc., sont \esp<ms du prisme, et en forment la surface latérale ou convexe.
La hauteur d'un prisme est la distance de ses deux bases , c'està-dire la perpendiculaire menée d'un point de l'une sur l'autre.
Un prisme est droit quand ses arêtes latérales , c'est-à-dire ceHa qui vont d'une base à l'autre, sont perpendiculaires à ces bases; la hauteur du prisme est alors égale à l'une de ses arêtes. Dans tout autre cas, le prisme est oblique, Un prisme est triangulaire, guadrangulaire , pentagonal , etc. , polygonal suivant que ses baiet sont des triangles, des quadrilatères, des peniagonel, etc., oum général des polygones quelconques autres que des triangles.
377, Deux prismes droits gut' ont dtt bases égales et même hauteur sont det ftgwei égales.
En effet, on peut, en transportant l'une des figures sur l'autre, faire coïncider le( bases inférieures FGHIK, F'G'H'I'K'. On bases coïncidant, les arêtes latérales FA, F'A'; G6 , GV, etc., coïncident une k ans; en effet, FA, FA', par exemple, putot 1
uvRK yu
alors toutes deux du même points F^ et sont perpendiculaires au même plan. Ces arêtes étant d'ailleurs égales, lems extrémités supérieures coïncident; les sonunets des bases supérieures coïncidîant^ ces bases coïncident; toutes les faces coïncident.
I87a. On nomme pyramide le solide formé par un polygone
A6CDË9 et des triangles qui ont un sommet commun. S, et pour bases respectives les côtés de ce polygone.
Le polygone ABCDE est la base de la pyramide, les triangles ASB, BSC, etc., en forment la surface latérale ou convexe , leur sommet commun S est le sommet de la pyramide.
La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base.
Une pyramide est dite triangulaire^ quadrangulairty hexagonale, polygonaley suivant que sa base est un triangle, un quadrilatère, un hexagone, un polygone quelconque autre qu'un triangle.
Une pyramide est Hgulière quand sa base est un polygone régulier, et son sommet situé sur la perpendiculaire élevée sur le plan de ce polygone, à son centre.
Nous ne considérerons que des polyèdres convexes, c'est-à-dire des polyèdres tels que le plan d'une face quelconque , prolongé indéfiniment, laisse toute la figure du même côté {").
(*) Beux polyèdres convexes P et P' qui ont ke mêmes sommets, et en mimé nombre , coïncident dans toute leur étendue.
En effet, soit ABCDE une face extérieure de P; les sommets A, B, G, D, E appartenant aussi bien 4 P' qu'à P, le plan ABCDE est une fsce extérieure de P', ou bien traverse P' laissant des sommets de ce polyèdre d'un e6té et des sonunets de rautre« Admettons la dernière hypothèse et supposons que M et N soient deux sommets de ce polyèdre situés de part et d'autre du plan
DES PARALL&iinPJkoES.
279. Un prisme qui a pour bases des parallélogrammes s'appelle un parallélipipède ; un parallélipipède a six faces qui sont toutes des parallélogrammes.
Un parallélipipède est droit quand ses arêtes sont perpendiculaires auK plans des bases.
Si ces bases sont en outre des rectangles, le parallélipipède est dit rectangle.
Dans tout autre cas ^ le parallélipipède est dit oblique.
Tltéorème.
280. Les faces opposées d^un parallélipipède sont égales et parallèles.
Nous trouvons d'abord les bases ABCD, EFGH (fig. précédente], qui sont, par définition, égales et parallèles. Considérons deux autres faces opposées ABFË, DCGH; elles ont leurs côtés égaux et parallèles deux à deux ; AE , DH comme côtés opposés du parallélogramme ADHë, etc. Les angles EAB, HDG, sont égaux comme ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; les parallélogrammes ABFE, DCGH peuvent donc coïncider et sont égaux. On démontrerait la même chose pour les faces ADHE, BCGF.
Deux faces opposées quelconques d'un parallélipipède peuvent donc être prises pour bases.
ABCDE. Les sommets M et N appartiennent aussi au polyèdre P ; nne face ABCDE de ce polyèdre convexe P laisserait donc des sommets d'un côté et des sommets de l'autre , ce qui est contraire à la définition des polyèdres eon' vexes; donc ÂBCDE ne peut être qu'une face extérieure de P'. Chaque foce extérieure de P coïncide donc avec une face extérieure de P' et réciproquement; donc ces deux polyèdres coïncident dans toute leur étendue. Nous avons cru utile de démontrer cette proposition; comme il est très-aisé de former des polyèdres non convexes qui, ayant les mêmes sommets et en môme nombre, diiE^ rent essentiellement , il n'est pas évident , à priori , que deux polyèdres eonvexes doivent toujours coïncider dans ce cas.
