LIVRE VI

281. Les arêtes d'un parallélipipède sont égales et parallèles quatre à quatre; si Ton considère les trois arêtes issues d'un même sommet Â; qui sont généralement inégales, chacune d'elles est égale et parallèle à trois autres arêtes.

Étant données, à partir d'an point A, trois droites AE, A6, AD, non situées dans le même plan , on peut toujours construire un parallélipipède dont les arêtes soient égales et parallèles aux lignes données. Pour cela , on mène par l'extrémité de chacune de ces trois droites un plan parallèle à celui des deux autres ; par le point E , un plan FEH parallèle à BAD ; par le point B, un plan GBF parallèle au plan AEH ; par le point D, le plan GDH parallèle au plan BAE. Les sîx plans que nous venons de nommer forment, par leurs rencontres mutuelles , le parallélipipède demandé.

Tltéorème*

282. Les diagonales d'un parallélipipède se coupent toutes quatre

au même point , qui est le milieu de chacune

d'elles.

Considérons d'abord les diagonales BH^

DP ; ces lignes se terminent, sur la gauche^ à

l'arête BF, et, à droite, à l'arête DH; tirons (i BD, FH ; les lignes BF, DH étant égales et

parallèles, la figure BDHF est un parallélo- ** gramme; BH,DF, diagonales de ce paral-

lélogramme, se coupent en leur milieu. Si maintenant nous considérons les diagonales AG, DF, nous voyons qu'elles se terminent, d'un côté à Tarête AD du parallélipipède, de l'autre à l'arête FG; menons les lignes AF, DG; les arêtes AD,FG étant égales et parallèles, la figure ADGF est un parallélogramme; AG,DF, diagonales de ce parallélogramme , se coupent en leur milieu. On prouverait de même que la quatrième diagonale CE du parallélipipède passe au milieu de DF (DF et CE se terminent aux arêtes DC, EF). La proposition est donc démontrée.

Remarque. Le point de concours des diagonales d'un parallélipipède est le centre de la ûgure; chaque ligne qui, passant en ce point, est limitée à la surface, se trouve divisée au point en deux parties égales.

Les diagonales d'un parallélipipède rectangle sont égales entre elles; le carré de chacune est égale à la somme des carrés des trois arêtes ou dimeniions du parallélipipède; FD'= FB*+ FÊ'H- FG*. On le démontre aisément.

Mcpure des jmrallélipijwdes.

Tltéorème.