LIVRE VI

P aXb que— = , k^, ' Pour cela, considérons un troisième parallélipi-

pèdeP", que Ton peut construire, ayant lahauteur, A, de Pet de J?',

une seconde dimension, a, commune avec P, et une dimension , b', commune avec F. Les parallélipipèdes P et P" ayant des bases égales (les rectangles qui ont les côtés a et h) sont entre eux

oonune leurs hauteurs correspondantes, b ei b'; p^ = ï;;(l)*

De même P'' et P', qui ont des bases égales (les rectangles qui ont les côtés h et b% sont entre eux comme les hauteurs a et a' cor-

P" a respondant à cette base; ~- = ~ (2). En multipliant les égalités

(1) et (2), membre à membre, on trouve, simplification faite.

P __ axb V'^a'xb'

Tliéorèiiie*

285. Deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs»

Soient, P, un parallélipipède rectangle, B sa base, h sa hauteur ;

F' un second parallélipipède rectangle, B' sa base*. A' sa hauteur ;

P BxA il s'agit de prouver que ^, = ^, — r;« Pour cela , considérons un

troisième paralléliiûpède P'', que Ton peut construire^ ayant même hauteur h que P, et même base B' que P'.

176 COURS DE GÉOHÉTRIE.

On a d'abord (d'après le n» 284) , ^, = % (!)• Puis (d'après le n» 285) , Ç^V ^^^'

En multipliant ces deux égalités , membre à membre , on trouve, après simplification, n/ = 5î — n > C. Q. F. D.

r b XA

Tltéorème*

286. Le volume d'un parallélipipède rectangle quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur; ou, ce qui revient au même y au produit de ses trois dimensions.

Soient P le parallélipipède à mesurer, B sa base, h sa hauteur; soient C le cube, unité de volume, c sa base, qui n'est autre que le carré, unité de surface, et l sa hauteur, qui est Tunité linéaire.

On a, d'après le théorème précédent, — = j-, ce qui revient à

p L'égalité (1) démontre que le nombre, r; , des unités cubiques

contenues dans le parallélipipède proposé, est égal au produit du

nombre, -, des unités de surface contenues dans sa base, mutti-

pliées par le nombre, - , des unités linéaires de sa hauteur; autre^

ment dit, que le nombre qui exprime la mesure du parallélipipède est égal au produit des nombres qui expriment sa base et sa hauteur; or c'est ce que signifie l'énoncé ci-dessus.

Si a et b sont les côtés de la base du parallélipipède proposé, conuneB=:aXb, et c=lxlf on a, en remplaçant B et c par ces valeurs dans l'égalité (1) ,