LIVRE VI
Cette égalité, interprétée comme Tégalité (1), signifie évidemment que le volume du parallélipipède est égal au produit des nombres qfÂi expriment ses trois dimensions,
Appucation. Trouver le volume d'un parallélipipède rectangle qui a pour dimensions 2",5; 3™,8; et 4",32.
287. Remarque. On appelle décimètre cube^ centimètre cube, etc., des cubes qui ont respectivement pour côtés un décimètre , un centimètre; etc.
|ni. CDbe - 1000*^* ^^^^^ = 1000000^^'* ^'iiI^M.
De sorte que le décimètre cube est un millième, le centimètre cube un millionième de mètre cube, etc.
RÈGLE. Pour énoncer un nombre décimal de mètres cubes, on commence par partager la partie décimale en tranches de trois chiffres, à partir de la virgule; on complète, par un ou deux zéros, la dernière tranche à droite, si elle a moins de trois chiffi^s. Gela fait, la première tranche après la virgule exprime des décimètres cubes, la seconde des centimètres cubes, etc. Exemple : 4i'"%53270403 = 41"%532.704.030; lisez 41 mètres cubes, 532 décimètres cubes, 704 centimètres cubes, 30 millimètres cubes.
Si on veut se rendre compte de ce fait : savoir, que !"• ""** = 1000***®- «■'»^, il suflSt de concevob le décimètre pris pour unité linéaire, et le décimètre cube pour unité de volume; alors le mètre cube est un paralléUpipède dont les trois dimensions sont égales à 10; son volume est donc 10* ou 1000 décimètres cubes.
TltéoFème.
288. Le volume d'un parallélipipède droit est égal au produit de sa base par sa hauteur.
Soit ABCDEFGH le parallélipipède droit proposé. Je construis
le rectangle FKNG équivalent au parallélogramme EFGH (n° 186); puis je mène des perpendiculaires Kl, NM au {dan ËFGH; Kl, NM, parallèles à ËA et BH, sont dans le plan AËHB et rencontrât AB en I et M; je mène DI, CM. Les lignes ÏD, FK sont égales et parallèles, parce que IK est égal et parallèle à DF ; MC et GN de même; la figure IDCM est donc un rectangle égal à FGNK. J'ai ainsi construit un parallélipipède rectangle, DIMCFGNK, équivalent au parallélipipède proposé ABCDEFGH; en effet, ces deux polyèdres ont une partie commune , le solide IBCDKFGH ; les parties non communes sont les prismes triangulaires droits AIDEKF, BMCHNG, qui sont égaux et superposables comme ayant des bases égales HGN,EFK, et des hauteurs égales FD = GC (n* 277) (*). Le volume du parallélipipède droit est donc égal à celui du pai^Hélipipède rectangle, c'est-à-dire à KFGN xFD (n» 286); mais KFGN=EFGH} le volume du parallélipipède droit est donc égal au produit de sa base EFGH par sa hauteur FD. C. Q. F. D.
Tltéorème.
289. Le volume d'un parallélipipède oblique e^î égal tm produit de sa hase par sa hauteur.
Soit AEHB la base de notre parallélipipède ; je prends sur la
direction AE une longueu!? ÎN=s=AE, et par les points 1, N, je mène deux plans perpendiculaires à la lîgtie AEN; ces deux plans coupent les faces do parallélipipède proposé , et leiWrs prcAoïh gements , suivant des parallélogmimneft IKLM, NOPQ, et déterminent m pÉ* rallélipipède droit, IKLMNOPQ,qui est équivalent au parallélipipède oblique ABCDEFGH, comme nous allons le démontrer. En effet, les deux polt^èdres
(*) Si l'on transporte le prisme BMCHNG sur AIDEFK, en plaçant la but
Si
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ont une partie commune, le solide IKLMEFGH, de plus, les pai-ties non communes, ABCDIKI.M, KFGHNOPQ, peuvent se superposer; car IN étant égal à AE, IN — lE ou EN = AE — lE ou AI; de même FO=DK, etc.... Gela posé, si Ton fait glûis^r le solide supérieur, ABGOIKLM^ le long des arêtes, jusqu'à oe qu0 sa base IKLM coïncide avec la base égal^ NOPQ, {es arêtes lA, KD, etc.., perpendiculaires à IKLM, coïncident en direction avec NE,OF, etc..., perpendiculaires à NOPQ, et à cause de NE=:AI, DK = OF, etc..., A se place en E, le point D en F, etc. ; les deux solides ABCDIKLM, EFGHNOPQ coïncident alors dans toute leur étendue; ils sont donc égaux. Les deux parallélipipèdes ABGDEFGH, IKLMNOPQ, composés de parties égales, chacune à chacune, sont équivalents. Mais IKLMNOPQ = NOPQxIN (n** 288); donc ABCDEFGH=^NOPQxIN=INxNQxOR (OR perpendiculaire à NQ). Mais IN = AE; NQ = IM, perpendiculaire à AN et à BQ , est la hauteur même du parallélogramme AEHB ; AEHB = AE x IM == IN x NQ ; donc ABGDEFGH = AËHBxOR. La proposition énoncée serait donc démontrée, si OR était la hauteur du parallélipipède proposé, correspoocUat j^ la base AEHB; or cela est en effet. Le plan NOPQ étant p^p^|[)* diculdire à la droite AN, est perpendiculaire au plan ANQB (n^ sèo) } dans le plan NOPQ on a mené OR perpendiculaire à rinterftedjoQ NQ des deux pians ; OR est donc p^pendiculaire au plan ANQB (no 9@i]; comme cetie ligne part, du plan opposé DOPQ^ c'«#t hiea la hauteur indiquée du parallélipipède oblique, oorrespoo» daatt à la base AEHB ; le volume de ce parallélipipède est dooo éga) au produit de sa base pai* sa hauteur {*),
990. GoaoLLàiRE. Lb volume d^un parallélipipède quet'cmque eH donc égal au produit de sa base par m hauteur (n^ 286 , 288, 289).
HGN sur «OB égale EPK, les arêtes HB^GO, NM élucideront respectivement avec £A, fU, Kl; comme œs lignes sont, égales, B se pli^eera en A, |C e« J>^ M en I.
(*) Si au lieu de AENB on prenait EFGH pour Imse du parallélipipède, par un point I de FG, et par un point N de son prolongement (1N=FG), on mènerait deux plans perpendiculaires à FG ; la démonstration serait la même.
TltéoFème*
291. Un prisme triangulaire ABDEFH est la moitié du parailélipipède ABCDEFGH, de base double et de même hauteur. Si le prisme et^ par suite ^ le parallélipipède étaient droits^ la
proposition serait déjà démontrée; caries deux prismes ABDEFH, DBGFHG ayant des bases égales EFH, FHG et des hauteurs égales, EA = DF, etc., pourraient coïncider (277). Supposons-les obliques, et construisons des prismes droits qui leur soient équivalents ; pour cela, nous prendrons sur la direction AE une longueur IN = AE et nous mènerons par les points I et N des plans perpendiculaires à la ligne AEN ; ces plans coupent les faces du parallélipipède oblique et leurs prolongements suivant des parallélogrammes ÏKLM,NOPQ, qui déterminent un parallélipipède droit IKLMNOPQ. Le plan diagonal BDFH, prolongé, divise ce parallélipipède en deux prismes droits égaux, KBVfONQ, KMLOPQ; si nous prouvons que les prismes obliques sont équivalents, chacun à chacun, à ces prismes droits, nous aurons démontré que les prismes obliques sont équivalents. Le prisme oblique ABDEFH et le prisme droit IKMNOQ ont une partie commune, le solide IKMEFH; les parties non communes ABDIKM, EFHONQ sont égales et superposables ; on le démontre (comme dans le n"" précédent) en faisant glisser le solide supérieur le long des lignes AN, DO, BQ, jusqu'à ce que la base IKM coïncide avec son égale NOQ ; alors lA est sur son égale NE et le point A se trouve en E ; D vient en B et B en H (V. la démonstration précédente); ces deux solides coïncident dans toute leur étendue; le prisme oblique ABDEFH, et le prisme droit KIMONQ, composés de parties égales chacune à chacune, sont équivalents. On démontrerait de même que les prismes BGDHGF , KMLOPQ sont équivalents ; les prismes obliques équivalents à des prismes droits égaux entre eux, sont équivalents. Chacun d'eux est donc la moitié du parallélipipède, ABCDEFGH, formé par leur réunion. G. Q. F. D.
