MESURE DES PYRAMIDES

295, Un plan parallèle à la base d'une pyramide coupe la surface suivant un polygone semblable à la base, et divise les arêtes en pctrties proportionnelles.

En effet les lignes AB, ab, intersections de deux plans parallèles

par un troisième, sont parallèles; il en est de même de BC, bc; CD, cd; etc. Les deux angles ABC, abc sont égaux comme ayant les côtés parallèles et dirigés dans le même sens; il en est de même de tous les angles des polygones ABCD, abcd, comparés deux à deux. Entin les

^/ .. / 1...Ad triangles semblables SAB, sab, d'abord, puis

SBC, sbc, etc., donnent les égalités de rapport SA AB SB BC se CD

sa

ab

sb bc

se

cd

CaUHS DB GÉOMÉTRIE.

294, CoitoixiiiiK. Dam deux pyramides SABC, TDEF de bam équivalentes et de même hauteur, Iêè tections planes, faite» à igokt dislances des bases, sont detpdy gtmes équivalents.

En effet , nous pouvons wippo- BerlesbasesABC,DEF, situées snr lin même plan; alors les secdoM alK, def, équidistantes des bases, sont aussi dans un même pion parallèle au premier; les sommets S et T étant également distants des bases, on peut imaginer un troisième plan parallèle à ces deux Ik, passant par les sommets S etT; les arêtes, rencontrant ainsi trois plans parallèles, sont divisées par celui du milieu en parties

proportionnelles (2S0); -

■ td

, etc. Les polygones ABC, dx

TD* . sa' TO" . ABC DEF , ^ — Ti niais -^r = -=:^ ; donc — r— ^ —r-t • Les numérateurs

td sa td «^f^ '^«f

de ces derniers rapports sont égaux par hypothèse; leurs dénominateurs doivent l'élre; (i6c= de/', C. Q. F. D.

Théorème.

29S. Deux pyramides de même hauteur et de bases ëgitivalentet sont équivalentes.

Soient PABC, PDIK les pyramides proposées que nous désignerons, pour abréger, par P et F. Supposons que les volumes de ces pyramides ne soient pas égaux, que P surpasse P'. Je divise la hauteur AH en un certain nombre de parties égales, en quatre parties, par exemple, égales à Al. Les pyramides étant disposées de manière que les bases ABC, DIK, soient sur le mteie

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plan, je mène, par les points de division de AH, des plans parallèles à ces bases 5 chacun de ces plans coupe les pyramides suivant des triangles semblables aux bases et équivalents entre eux (n» 294). Sur ABC, puis successivement sur toutes les sections de la pyramide P, comme bases inférieures, je construis des piîsmes compris entre les plans parallèles consécutifs; (on les construit ainsi : par les sommets B et C de ABC, par ex., on mène des parallèles à AP ; ces lignes, situées Tune dans le plan PAB, Tautre dans le plan PAC, rencontrent les premières parallèles à AB . AC , prolongées, en des points que l'on joint Fun à Tautre). Sur chaque section de la pyramide P, comme base supérieure, je construis un prisme compris entre cette section et le plan parallèle inférieur. Comme il y a trois sections, j'ai trois prismes intérieurs à la pyramide P', tandis que j'ai construit quatre prismes débordant la pyramide P (ayant employé la base ABC en plus). Les prismes (1) sont équivalents comme ayant des bases équivalentes et même hauteur (n* 292); les prismes (2), idem; enfin les prismes (3) de môme ; le prisme (4) n'a pas d'équivalent. Les prismes construits sur ABC, et les sections de la pyramide P, composent un volume S évidemment plus grand que le volume de cette pyramide. La somme S' des volumes des prismes intérieurs à la pyramide P' est moindre que cette pyramide P'. On a en résumé

donc la différence P — F doit être moindre que S — S'; or la différence des deux sommes des prismes est évidemment le prisme (4), qui a la base ABC et pour hauteur AI; S — S' = ABC X AI; donc P— P'< ABGxAL Mais on peut diviser la hauteur, AH, en autant de parties égales que Ton veut, par exemple, en cent millions de parties; l'une de ces parties. Aï, peut ainsi être rendue aussi petite que Ton veut; elle a pour limite zéro; il en est de même du volume ABC x AI. La différence des deux pyramides P, P', moindre que toutes les valeurs d'une quantité variable qui a pour limite zéro, est évidemment nulle; P — F=0, ouP=F;C. Q. F. D.

Tliéorème.

296. Une pyramide triangulaire est le tiers d'un prisme de même base et de même hauteur.

Soit ABGDEF un prisme triangulaire quelconque. Je mène le

plan GDF; ce plan décompose le prisme en deux pyramides, l'une triangulaire CDËF, l'autre quadrangulaire CADFB (base ADFB); je mène la diagonale AF de cette base ; le plan CAF divise la pyramide quadrangulaire GÂDFB en deux pyramides triangulaires CABF, GADF.

Le prisme se trouve ainsi décomposé en trois pyramides triangulaires GDEF, CABF, CADF. La première, CDEF, a la base DEF et la hauteur du prisme; la seconde, CABF, si on la considère comme ayant le sommet F, a la base ABC et la hauteur du prisme; ces deux pyramides ayant des bases égales et même hauteur, sont équivalentes; CDEF = CABF. Mais les pyramides CABF, CADF, ayant le sommet commun C, ont des bases égales, ABF, ADF (moitiés d'un parallélogramme), et même hauteur (la distance du point C au plan ABDF); elles sont donc équivalentes; CABF== CADF. En résumé, nous voyons que CDEF=CABF=GADF; les trois pyramides dont se compose le prisme étant équivalentes. Tune d'elles, CDEF, par exemple, est le tiers du prisme. C. Q. F. D.

Tliéorèiiie.

297. Le volume d^une pyramide est égal au tiers du produit de

sa base par sa hauteur. V = - B X H.

Considérons d'abord une pyramide triangulaire; elle est le tiers d'un prisme de même base, B, et de même hauteur, H ; or le vo-

(*) Une pyramide triangulaire CDEF étant donnée, on construit aisément un prisme de même base et de même hauteur; il suffit de mener les parallèles DA, FB, à l'arête EG à la rencontre de GA parallèle à ED et de GB parallèle à £F; ce qui produit la figure ci-dessus.