Mesure d'un polyèdre quelconque. En joignant un sommet

quelconque S d'un polyèdre aux sommets de toutes les faces qui ne passent pas par ce sommet S, puis, conduisant des plans par ce point S et les côtés de ces mêmes faces, on décompose ce polyèdre en autant de pyramides qu'il y a de ces faces. Ex. :

SABIG, SDFIG, SBCDI. On mesure le volume de chacune de ces pyramides, puis on additionne; la somme de ces volumes est

le volume du polyèdre.

Tltéorème*

fi99. Si Von coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, le tronc qui reste quand on a enlevé la pyramide partielle équivaut à trois pyramides ayant toutes même hauteur que le tronc ^ et pour base y l'une la grande base, ABC, du tronc, Foutre la petite base, DEF, et la troisième une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

!• Considérons d'abord un tronc de psramide triangulm DEPABC. Je mène le plan EDC qui décomn . v pose le tronc en deux pyramides , l'une trian- ^ï\ gulaire EABC, l'autre quadrangulaire EDACF; .- I . \ je mène la diagonale DC du quadrilatère DACF, \-\.\ puis le plan EDC; ce plan décompose la pyra- - -! "3 i: mide EDACF en deux pyramides triangul^ EDCF, EDAC. Le tronc est actuellement décomposé en trois pyramides EABCj EDCF, EDAC. La première (sommet Ej a la grande base ABC du tronc et même hauteur, H, que celui-ci; la seconde EDGP ou CDEF (sommet C) a la petite twse du tronc et même hauteur que lui ; ce sont les deux premières pyramides annoncées. Beste la pyramide EDAC qui équivaut à la troisièiDe pynmide annoncée comme nous allons le démontrer ['). Les pyramides EDAC, EDCF ont le sommet conmiun E, leurs bases DGF, DAC sur le même pian; elles ont même hauteur et sont entre elles

EDCF PCF DF

EDAC ~ DÂC ~ AC * '

car les triangles DCF, DAC, qui ont des hauteurs égales quand on prend pour bases DF, AC, sont entre eut comme ces bases. Les pyramides EDAC, EABC, ont le sommet commun C, et les bases

C) Onpeut.sii'oB veut, a^ieTer comma il init pouTia tmisiôine pyramide Par le point E Je mèae El parallèle i DA, qui reiicontre AB en 1; Je tire IC, ID. La pyramide EADG est équivalente A la pyramide lADC (même base, ADC, et même hauteur, lee sommeti E, I étant sur une même parallèle au plan de la base). La pyramide lADC peut être considérée comme ayant le sommet D et la base TAC; elle a même hautenr que le tronc; il reste à prouver que sa base lAC est moyenu propoTtloanelle entre les bases ABC, DEF. En eCU, les triangles lAC, ABC, ont le sommet commnn C et lenn bases sur la même droite AB; ils ont même haalear et

ACB AB „ sont entre eux comme leurs bases ; -r-r^ =z . Meneoi

IK parallèle t fiC; le triangle AIK est ^al au triangle DEF) car ces titaDgles, qnl sont équiangles, ont le côté Al = DEi les trlanglea AIK.AiC OBtl*