LIVRE YI
APrLICATIONS.
302. Problème. Combien y a-t-il (Thectolitres de blé dam un silo y dont la forme est celle d'un parallélipipède rectangle, ayant 4~,56 de longueur, 3",80 de largeur, et 5",48 de profondeur.
L'hectolitre = iOO litres = 100 décimètres cubes = 0" «"»>•, 1. La capacité du silo est en mètres cubes, 4,56 x 3,80 X 5,4-8 = M"- «',95744 (n° 286). Le silo contient 949 hectolitres, 57 litres, 44 centilitres.
Problème*.
On demande le poids d'une pierre taillée en forme de parallélipipède rectangle, ayant pour dimensions d",24; 0*";8 et 0'",64, le poids spécifique de la pierre étant 2,5.
Le poids spécifique de la pierre est 2,5, cela signifie que 1 centimètre cube de cette matière pèse 2»™°"**,5; évaluons donc le volume en centimètres cubes. Si on prend le centimètre pour miité, les dimensions de la pierre sont 124; 80 et 64; son volume est égal à 124x80x64 centimètres cubes = 634880 cent, cubes.
Le poids en est donc égal à 2«,5X 634880 =1587200 grammes = I537kiiogr.^20(),
Problème»
On demande ce que pèse un cristal de chaux carbonatée, en forme de prisme hexaèdre régulier, dont la hauteur est sextuple du côté de la base; ce côté a 0^,006 de longueur y et le poids spécifique de la chaux carbonatée est 2,7.
La base du prisme est un hexagone régulier dont le côté
AB = 0°»,006, ou en centimètres 0,6; Tapo-
^^ ^ thème OD = V^IÔ*— Âd'; AD moitié de AB=
0,3 ; OD = \/ôfi* — (0,3)» = v/0,36 — 0,09 = y^0,27 = 0,519 à moins de 0,001. La surface
de rhexagone est 6AB X r OD = 3AB X OD =
Jm
d,8 X 0,519. L'arête de l'hexaèdre est égale à 0,6 X 6 = 3,6; son volume est égal à i,8x0,519x3,6; l'unité de longueur étant le centimètre, son poids est égal à 2»'' ,7xl,8x0,5d9x4,2, ce qui fait O»' ,080 à moins de 0,001.
Problènie.
Combien vaut une pyramide régulière d'argent massif au titre de 0,840 , dont la base est im hexagone régulier et la hauteur quùr druple du côté de la base. La densité de la matière est 9,8 ; le kilogramme d'argent, au titre de 0,900, vaut 198',50, et le côté de la base est 0,6 centimètres.
On cherche d'abord le poids de la pyramide, qui est égal à son
volume multipUé par la densité de la matière. Or V = — x B.
On connaît — =: -^-- — = 0,8 j on évalue Taire de la base
comme dans le problème précédent 6 = 1,8x0,519; d'où
V r^ 0,8 X 1,8 X 0,519. Le poids en grammes est égal à
0,8x1,8x0,519X9,8. Enfin le gramme d'argeilt, au titre
de 0,900, valant 0^,19850, le gramme d'argent, au titre de 0,00i,
, ^19850 . ^.^ , . .. 0^19840xal0 , .
vaudra — ; et au titre de 0,840, — — . Le prix
herché est d ne ?£i><ii?^<Mi^ ^ ^^^ ^ 0,19850 X 840
Problème.
Calculer le volume et la surface latérale d^un tronc de pyramide à bases parallèles , dont la hauteur est 12~,5, et dont les bases sont des carrés ayant respectivement pour côtés 3,60 et 0,80.
Le volume cherché est égal à
La surface latérale se compose de 4 trapèzes égaux dont nous
LIl^RE Vf. 191
connaissons les bases. La hauteur d'un de ces trapèzes joint les milieux des deux bases*, si on mène, par l'extrémité supérieure de cette hauteur, une parallèle à la hauteur du tronc, on forme un
triangle rectangle dont le petit côté est la différence, -^ '-— =
4,40, des apothèmes des bases, dont l'hypoténuse est la hauteur cherchée , ^ , du trapèze , et Tautre côté de Tangie droit est égal
à la hauteur 42,5 du tronc; de sorte que h= \/(\'l,S)^-{-(\,JLO)*. Connaissant la hauteur d'un des trapèzes et ses bases, on calculera facilement sa surface.
DES POLYÈDRES SEUBLÂBLES.
305. Nous appellerons polyèdres semblables des polyèdres compris sous un même nombre de faces, semblables chacune à chacune, et dont les angles solides homologues sont égaux. (Les angles solides homologues sont ceux qui sont formés par les faces semblables.)
Les sommets des angles solides homologues sont les sommets homologues des deux polyèdres. On nomme droites homologues les lignes qui, dans les deux figures, joignent les sommets homologues.
Tltéorème.
304. Si l'on coupe une pyramide S ABC par un plan, abc y par als lèle à la base , on détermine une nouvelle pyramide
semblable à la première.
En effet, la face SAB est semblable à 8ab
\c (û^ parallèle à AB) ; de même SAC est semblable
\ à Sac; SBC semblable à Sbc; enfin les faces ABC,
\ abc y sont évidemment équiangles et semblables
B De plus, les angles solides homologues sont
égaux chacun à chacun ; car S est commun ; ensuite deux autres quelconques homologues, ex. : A et a, sont éWdemment composés d'angles plans égaux et semblablement disposés. Les deux
pyramides ayant leurs faces semblables chacune à chacune^ et lears angles solides homologues égaux ^ sont semblables.
Remarque* Les arêtes homologues de nos deux pyrajoides sont
SA AB SB BG , proportionnelles : -- = -7- = -— = -r— , etc...
Sa ao ^ bc
Tltéorème.
SOS. Deî(X tétraèdres SABCTDEF, qui ont un angle dièdre <i égal compris entre deux faces semblables et sembla-
A blement placées , sont semblables.
/ \ Pour le démontrer, je prends sur SA une lon-
/\l7V gu^uï* S« = TD, et je mène le plan abc parallèle \ à S ABC; j'obtiens ainsi un tétraèdre Sabc semblable ...L à SABC. Si je démontre que le tétraèdre TDEF est /^ égal à SabCf j'aurai démontré que TDEF est sem- B blable à SABC. Ck)mparons donc Sabc, TDEF; Sa = TD; l'angle aSô=TDE; Saô = SAB = TDE
4 (similitude des faces SAB, TDE) 5 les triangles Sab, TDE sont donc égaux; les triangles Sflc,TDF de même. Cela posé, pour faire coïncider les pyraï^ mides TDEF, Sabc, mettons la face TDF sur son ^ égale Sac; le dièdre TD étant égal au dièdre Sa, le plan TDE s'appliquera sur le plan Saô ; la ligne TD étant déjà sur Sa, TE tombera sur son égale Sb et le point E se placera en b. Cela étant, les sommets des deux tétraèdres TDEF, Sabc coïn-p cident, et par suite toutes leurs faces; ces deux tétraèdres sont donc égaux; donc TDEF est semblable à SABC. C. Q. F. D.
Il y a divers cas de similitude des tétraèdres analogues aux cas de similitude des triangles. Us se démontrent conune le précédent.
Tltéorènie*
306. Deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés. Pour plus de netteté dans la figure, nous représentons deux pA-
