LIVRE VI

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rallélipipèdes semblables; mais nous ferons le raisonnement comme

si c'étaient deux polyèdres semblables quelconques. On peut joindre le sommet S de Tun des polyèdres aux sommets de toutes les faces qui ne passent pas par ce sommet S; ces lignes SA, se, SD, etc.. sont les arêtes de pyramides polygonales, ayant toutes le sommet S, et pour bases ces faces non adjacentes à S; ex. : les pyramides SADGC, SDEFG, SABED f); On peut ensuite décomposer chacune de ces pyramides polygonales en tétraèdres, en partageant sa base en triangles; on obtient ainsi des tétraèdres comme SDEF, SDGF ; le polyèdre ABGSDEFG est ainsi décomposé en un certain nombre de tétraèdres. Soit $ le sommet du second polyèdre, homologue à S; on peut décomposer de la même manière le polyèdre, abcsdefgy en tétraèdres homologues à ceux qui composent le premier polyèdre; on détermine ces tétraèdres en menant dans le second polyèdre les lignes homologues à celles que nous avons menées dans le premier; sa, se, sd, etc... puis rfc, rf/*, etc... 11 nous faut maintenant démontrer que les tétraèdres homologues des deux polyèdres sont semblables chacun à chacun.

i*" Si Ton considère deux pyramides polygonales homologues quelconques de ces polyèdres, il suffit de démontrer la similitude de deux tétraèdres homologues de ces pyramides, pour conclure la similitude de tous les autres. Considérons, par exemple, des pyramides SABGD, sabcdy ayant les bases semblables comme celles de nos deux polyèdres*; A^::::".'.!4 . *\p supposons que les tétraèdres SABC, sabc, aient

été reconnus semblables, et comparons les K tétraèdres adjacents SACD, sacd; le dièdre

(*) Ces pyramides sont distinctes les unes des autres; car le plan SDG, par exemple, correspondant à TintersecUon de deux faces, ADGC,EDGF laisse enUèrement d'an côté la pyramide SADGC« et de l'antre SDGEF.

s SACD = dièdre sacd ( supplémentaires des

/j\ dièdres égaux SACB, sacb); la face SAC est

\ semblable à sac (similitude des tétraèdres

"•\ SABC, sabc); la face ACD est semblable à ^^/ acd (similitude des bases ABCDE, abcde); les deux tétraèdres SACD, sacd ont donc un dièdre égal compris entre des faces semblables et semblablement disposées ; donc ils sont semblables. On démontre exactement de même la similitude des tétraèdres suivants SADE, sorfe; et ainsi de suite s'il y en avait plus de trois dans chaque pyramide polygonale.

2* Considérons dans le premier polyèdre une pyramide polygonale, SDEFG, dont la base soit adjacente à l'une des faces qui passent par le sommet S , et comparons-la à son homologue sdefg de l'autre polyèdre. Commençons par les tétraèdres SDEF, sdefy dans lesquels se trouvent les dièdres EF, efef des polyèdres; dièdre EF = dièdre ef (par détinition) ; la face SEF est semblable à sef; le triangle DEF est semblable à def (similitude des faces des deux polyèdres); les deux tétraèdres SDEF, sdef sont donc semblables; donc les autres tétraèdres des pyramides polygonales M)EFG, sdefg ^ sont semblables (d'après 1°).

3* Considérons maintenant deux pyramides polygonales SACGD, sacgdy respectivement adjacentes à deux pyramides SDEFG ^ sdefg déjà considérées et composées de tétraèdres semblables.

Considérons, dans ces pyramides, les tétraèdres SCDG,sc(/^, respectivement adjacents aux tétraèdres SDFG ^sdfg, déjà reconnus semblables; à cause de la similitude de ces derniers tétraèdres, la face SDG est semblable à sdg; le dièdre SDGF est égal au dièdre sdgf; en retranchant ces dièdres des dièdres homologues égaux CDGF, cdgf, des deux polyèdres, il reste deux dièdres égaux SDGC, sdgc; les faces CDG, cdg sont d'ailleurs semblables comme triangles homologues des faces semblables ADGC, adgc; les deux tétraèdres SWGyScdg ont un angle dièdre égal, SDGC=i sdgc, compris entre des faces semblables et semblablement disposées; ils sont donc semblables. Les autres tétraèdres homologues dçs pyramides polygonales SACGD, sacgd , sont donc semblables (4").

Notre proposition est actuellement démontrée; les tétraèdres homologues des deux polyèdres proposés sont semblables chacun à chacun. Car, ayant commencé par comparer deux pyramUte