LIVRE YI

polygonales dont les bases sont adjacentes à celles qui passent par le sommet S 9 on peut comparer ensuite les pyramides homologues adjacentes à celles-là, puis des pyramides adjacentes aux précédentes, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait considéré, de proche en proche, toutes les pyramides polygonales des deux polyèdres.

Remarque. Dans la décomposition précédente, on peut choisir pour sommets des tétraèdres deux sommets homologues quel* conques des deux polyèdres.

Les droites homologues de deux polyèdres semblables sont donc proportionnelles y les arêtes comme les diagonales.

Tltéorème.

507. Les volumes de deux polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs arêtes homologues.

V Nous allons d'abord le prouver pour deux pyramides sems blables. En prenant, sur l'arête SA de la plus grande

é pyramide, une longueur Sa égale à l'arête homologue de la plus petite, et menant le plan abc parallèle à la base, on obtient, comme nous l'avons vu (n" 305), une pyramide égale à la seconde ^ pyramide proposée. En abaissant SO perpendicu- Liire à ÂBC, nous avons sur la même direction Ti les hauteurs SO, So des deux pyramides.

SABC = ^ABCxSO; Sabcz==\abcxSo.

Les triangles ABC, abc étant semblables, —=-- = -777-; mais

OÙC ^fy

-ZZ5 = -=i ; donc — T— = -z=^ (1); d'un autre côté, les trianab S? «^^ Sa

gles SAO,Sao étant semblables [ao est parallèle à AO), on a

l'égalité -^ = -^ (2). En multipliant les égaUtés (1) et (2), membre 00 zta

à membre, puis les deux termes du premier rapport obtenu

1 u*. .VA ,.,,iABCxSO SA SABC SA par - , on obtient régalite Vt ^— = ■=« ou ^ . = z=r .

2° Considérons maintenant deux polyèdres semblables P et jo; ils peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun^ T, t; T^, r^; T,, r,; T,,, ^j, etc., les arêtes homologues des polyèdres étant A, a; A^, a^; A,, a,, etc.

On a, d'après 1*, -- = -5:-: -i==~L-; --1=:— L. etc. Les arêtes ^ t a^' t^ 0.x t^ a/'

homologues des deux tétraèdres étant proportionnelles^ il en est

de même de leurs cubes : — r- = — ^- = —V , etc. : donc — = — =

or ûj* a,' ' t t^

?î = îî; d*où on déduit '^"^T^t^'r^^' = -=^ ou

- = :îl; C.Q.F.D.