D'un point A, donné hors d'une droite BC, on ne peut

abaisser qu'une perpendiculaire sur cette droite.

En effets supposons qu'on en puisse

abaisser deux , AE , AD ; puis imagintms

t que la figure ADE, tournant autour de

BC comme charnière, vienne se rabattre

V ^ au-dessous de cette ligne, sur le même

plan. Le point A prend alors une certaine position A'; AE vient en EA', et AD en DA'. Cela fait, considérons la double figure ADATl; AE étant perpendiculaire sur BC, Tangle AED est droit; Tangle A'ED, qui n'est que la reproduction de AED, est droit comme lui; donc AED + A'ED = 2 droits, et la ligne AEA' est droite (n^ 21); de même A DE étant droit (à cause de la perpendiculaire AD), son égal A'DE est droit; ADE -|- A'DE= 2 droits, et la ligne ADA' serait droite. Entre les deux points A et A', il y aurait donc deux lignes droites; ce qui est impossible (2) ; il est donc également impossible d'abaisser deux perpendiculaires du même point sur la même droite.

Tltéorème.

42. Si d'un point pris hors d'une droite on abaisse sur cette droite une perpendiculaire et différentes obliques :

\° La perpendiculaire est plus courte que toute oblique;

2» Les obliquss qui s^écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales ;

3** De deux obliques qui s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire^ celle qui s'écarte le plus est la plus longue.

iê

i"" Soit AE perpendiculaire sur BG et AD une oblique quelconque; je dis que la perpendiculaire AE est /|A plus courte que Toblique AD. Pour le dé-

montrer, je prolonge AE d'une longueur EA' = AE et je tire DA'. Les deux triangles

^3^^ -^ ê ^^ED, A'ED ont le côté DE commun; AE^ATl

par construction, et les angles en E égaux comme droits ; ces deux triangles ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun, sont égaux; donc l'hypoténuse AD du premier égale l'hypoténuse AD du second. Mais la ligne droite AEA'=2AE, est plus courte que la ligne brisée ADA'=2AD, qui joint les deux mêmes points; donc AE < AD; 0^ qu'il fallait prouver (*).

RmARQUB. La perpendiculaire AE est la plus courte ligne qui aille du point A à U droite BC.

La pltAs courte distance d*un point donné à une droite donnée eH donc la perpendiculaire abaissée de ce poim sur la droite.

^ Soient AE perpendiculaire sur BC et les deux obliques AD, AF

telles que DE=EF; ces deux obliques sont ^ales. En effet, les deux triangles AED, AEF ont le côté commun AE ; DE = EF et les angles en E égaux comme droits; ils sont donc égaux (!«' cas d'égalité). L'hypoténuse AD du premier est donc égale à Thypoténuse AF du second; AD=:AF; C.Q.F.D.

3° Soient les deux obliques AD, AI s'écartant inégalement du

{*) Cette proposition peut fie démontrer eiLactemeiit comme la précédente. On fait tourner AED autour de BG comme charnière, puis on dit : EA' n'est autre que EA; EA' = EA; de même DA' = DA; l'angle A'ED, r^oduction de AED, est droit comme lui ; donc AED + A'ED =s: 2 droits ; donc AEA' est une ligne droite. ADE n'est pas droit ; donc son égal A'DE n'est pas droit non plus; ADA' n'est pas une ligne droite, c'est une ligne brisée. La droite AEA' » 5AE est plus petite qac ADA' — 2AD ; d'où AE < Afi'.

pi^ de ia p^pp^ndicui^ire AJS> œlle qui ^'écar^ |ç plus^ Al,

est 1^ plus graa4^. Ppur le déa^ntrer, je prolonge AE d'une longueur \ PA' = AE , puis je tire les 4roites

\ DA', IA'; les triangles rectangles AEJ),

\ A'ED ont les angles en E égaux comnae — y-Q droits, ED commun, AE = A'E jp^r construction; c'est-à-dire up »ngle âra) compris entre deux côtés égaux , chacun à chacun; ces triangles sont donc \ égaux; d'où on conclut AD=AT), et

ADA' = 2AD. On démontrerait exactement de même que les deux triangles rectangles AIE, A'IE sont égaux; d'où on conclut Al=A'I et AïA'=2AI (*). Mais si ob considère le triangle Aï A' dans lequel un point intérieur D e«t joint aux extrémités de l'un des côtés AA', on sait ( n» 27 ) que la somme AD + DA' est plus petite que Aï-f lA'; autremeal dit, 2Aï> 2AD; donc AI > AD; ce qu'il fallait pvauv6r.

Si les deux obliques inégalem^ distantes du pied 4^ la perpendiculaire étaient situées de côtés différents de celle-ci, comme AI et AF, on prendrait du côté de AI une longueur ED = EF; on tirerait AD qui serait égale à AF ; mais AD est plus courte que AI ; donc aussi AF < AI.