LIVRE Vil
316. Si dans le cercle ÂBGD, qui sert de base à un cône^ on ^ inscrit un polygone ÀBCDEF^ puis^ que sur cette
à base ABCDE, on construise une pyramide ayant pour sommet le points, cette pyramide, dont les arêtes SA, SB, SC, etc. , appartiennent évidemment à la surface du cône , est dite inscrite ^^ dans le cône ; celui-ci est circonscrit à la pyramide.
■^ ^ 579. Si le nombre des côtés du polygone
augmente indéfiniment, ces côtés devenant infiniment petits, les faces de la pyramide deviennent elles-mêmes infiniment petites. La surface latérale de la pyramide, composée de ces faces, se rapproche de la surface du cône jusqu^à en différer infiniment peu.
On admet comme évident que la surface latérale du cône est la limite de la surface latérale d'une pyramide inscrite, dont le nombre des faces augmente indéfiniment , ces faces devenant infiniment petites; et aussi que le volume du cône est la limite du volume de la même pyramide,
Tltéorème.
517. Le volume d'un cône est égal au produit de sa base par sa hauteur.
Inscrivons dans la base du cône un polygone régulier (figure précédente), et construisons la pyramide SABCDEF qui a ce polygone pour base et le point S pour sommet. Le volume de cette pyramide est égal au tiers du produit de sa base B par sa hauteur H, qui n'est autre que SO;
V = ABCDEFx? (i).
Supposons maintenant que Ton double indéfiniment le nombre des côtés du polygone inscrit, et par suite le nombre des faces de la pyramide. Le volume de celle-ci tend vers une limite qui est le volume du cône, tandis que le polygone qui lui sert de base tend vers sa limite qui est le cercle ; la hauteur SO = H est tou-
jours la même. Soit OB=R. L'égalité (i), toujours vraie > quel
que soit le nombre des côtés du polygone inscrit^ devient à la
limite :
vol. cône = cercle R x — . C. Q. F. D.
ou vol . cône =r - ttR* x H.
Corollaire. Les cônes d'égale hauteur sont entre eux comme leurs bases.
Les cônes de bases égales sont entre eux comme leurs hauteurs.
Les cônes semblables sont entre eux comme les cubes des diamètres de leurs bases , ou comme les cubes de leurs hauteurs.
Tltéorèine.
518, Le volume du cône tronqué dont les rayons de base sont
OC = R et EF=r, et la hauteur IO = H, est égal à -tc.H.(R* +
r«+Rr).
Inscrivons dans la grande base du cône un polygone régus lier ABGD^ et construisons la pyramide insmte
4SABGD ; le plan de la base supérieure du trône de cône coupe la pyramide suivaat ua polygone ËHFN semblable à A6CD , et détermine un tronc de pyramide polygonal dont le volume
^^y' V = iHx(B + ft+v/B5<*) (4),
B étant Taire du polygone ABCD et b celle de EHFN (n* 300). Imaginons maintenant que le nombre des côtés du polygone inscrit dans chacune des bases du tronc de cône^ et par auite le nombre des faces du tronc de pyramide inscrit, augmentent ind^ niment^ ces côtés et ces faces devenant infiniment petits. Le volume du tronc de pyramide tend vers une limite qui est le volume du tronc de cône, tandis que Taire de chaque polygone tend vers
