LIVRE I

d'égalité, on distingue , pour les triangles rectangles, les deux cas suivants :

V Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal.

2** Deitx triangles rectangles sont égaux quand ils ont Vhypoténuse égale et un angle aigu égal.

4*' CAS. Soient les deux triangles rectangles ABC, DEF, tels que

rhypoténuse BC égale DF et le côté AB=ED; je dis que ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transportant lo triangle DEF sur BAC , je place le côté ED sur son égal AB, le point E en A, et le point D en B. L'angle droit E étant égal à Tangle A , le côté EF prend alors la direction AG, et le point F tombe quelque part sur AC ou sur son prolongement. Je dis qu'il tombe justement au point G. En eflfet , supposons qu'il tombe ailleurs, par exemple en I; alors DF aurait la position BI; mais BI=DF devrait être égal à BG; ce qui est impossible, puisque les deux obliques BI , BG issues du même point B s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire BA; il est donc également impossible que le point F tombe ailleurs qu'en G; donc il tombe au point G; alors EF coïncide avec AG et DF avec BG ; les deux triangles ABG, DEF, coïncidant dans toutes leurs parties, sont égaux.

2" CAS. Soient les deux triangles ABG, DEF tels que l'hypoténuse BG = DF et l'angle B= l'angle D; je dis que ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur BAG, je place l'hypoténuse DF sur son égale BG, le point D en B et le point F en G; l'angle D étant égal à l'angle B, le côté DE prend de lui-môme la direction BA, et le point E tombe quelque part sur BA ou sur son prolongement.

Je dis qu'il tombe justement au point A ; en eflfet, supposons qu'il tombe ailleurs.

24 CaURS DE GÉOMÉTRIE.

En effet ^ si ces deux droites se rencontraient en un point 0^ ^ par exemple , il y aurait par ce point

deux parallèles à la même droite; ce

qui est impossible.

Tltéorème.

54. Deux draUes ABy CD, Vune oblique , Vautre perpendiculaire à la même droite AG, ne sont pas parallèles.

En effets AB étant oblique à AG ^ on peut élever, au point A une perpendiculaire AI sur AG; les deux lignes AI, GD étant perpen-

diculaires à la même droite, AG, sont parallèles; si donc ÀB était parallèle à GD, il passerait par le point A deux parallèles à la même droite GD; ce qui est impossible; donc AB n'est pas parallèle à GD.

Tliéorème.

S5. Si deux lignes AB, GD sont parallèles, toute droite EF,

perpendiculaire à Vune est perpendiculaire ' ^^ à Vautre.

p Par exemple , EF perpendiculaire à AB est aussi perpendiculaire à GD; en efTet,

j) si EF était oblique à GD, les deux lignes

GD,AB, Tune oblique, l'autre perpendiculaire à la même droite EF, ne seraient

pas parallèles ; ce qui est contraire à Thypothèse. Donc EF est

aussi perpendiculaire à GD.

Dl^INITION.