LIVRE I

On appelle alternes internes deux angles non adjacents , situés entre les deux parallèles , de côtés différents de la sécante ; il y en a deux couples : 1° CIH, IHB; 2° DIH, IHA.

On appelle alternes externes deux angles non adjacents^ situés en dehors des parallèles, de côtés différents delà sécante. Ex. : 1° GIE, BHF;2'EID,AHF.

On appelle correspondants deux angles non adjacents, situés du même côté de la sécante , Tun à Tintérieur, l'autre à l'extérieur des parallèles. Il y en a quatre couples : i" ETD, IHB; S*» FHB, DIH ; idem de l'autre côté de EF.

On appelle internes ou intérieurs du même côté deux angles situés entre les deux parallèles du même côté de la sécante : 1° DIH, IHB; 2^ GIH, IHA.

Il y a de même deux couples d'angles externes ou extérieurs du même côté : 1* EID , BHF; 2° EIG , AHF.

57. Si deux droites non parallèles AB , CD , sont rencontrées par

une transversale EF, les huit angles formés aux deux points d'intersection , considérés deux à deux , peuvent être distingués de la même manière que nous venons de le faire pour deux pa-

V rallèles. Dans ce qui précède , dites les

droites CD, AB, au lieu des parallèles, et vous aurez des définitions générales.

Tltéorèm*.

58. Deux droites parallèles étant coupées par une transversale quelconque :

V Les angles alternes sont égaux;

^ Les angles correspondants sont égaux ;

3" Les angles alternes externes sont égaux^

4" Les angles intérieurs du même côté sont supplémentaires ^ c*esi-ùrdire valent ensemble deux droits ,•

5* Les angles extérieurs du même côté sont aussi supplémentaires.

â6 COURS DE GÉOMÉTRIE.

1° Le$ anglii alternée internes sont égaux. Jabient^ en dffet^

les parallèles AB^ CD coupées par la E transversale EF; je dis que les angles ^/. alternes internes AIH, IHD sont égaux.

^ ;y fi Pour le démontrer, parle point 0,

J^ milieu de IH, je mène la ligne KOM

^ J^/ \ perpendiculaire à CD , et par suite à AB.

/ ^^ Les deux triangles rectangles OIK, OJMH,

' ^ ainsi formés, sont égaux; car Thypoté-

.nuse OI=OH par construction (0 milieu de IH); les angles aigus en sont égaux comme opposés par le sommet. Les triangles OIK , OMH étant égaux (n» 47, 2« cas), le troisième angle, OIK, du premier égale le 3« angle, OHM, du second; mais rangleOlK c'est AIH; Omi, c'est IHD; donc AIH = IHD, ce qu'il fallait prouver.

De AIH = IHD , on conclut que BIH = IHG; car BIH , IHG sont respectivement les suppléments de AUl et IHD.

2*» Les angles correspondants sont égaux.

Par exemple, E1B = IHD.

En effet, EIB = AIH (opposés par le sommet), IHD = AIH (alternes internes); les deux angles ElB, IHD égaux à un même troisième , sont égaux entre eux.

On démontrerait de même que AIE = IHG, etc....

3* Les angles alternes externes sont égaux, Ex. :EIB==GHF. En effet , EIB = AIH (opposés par le sommet) ; CHF = IHD (opposés par le sommet) ; mais AIH = IHD (alternes internes) ; donc les angles EIB, CHF, égaux respectivement à des angles égaux, sont égaux entre eux. On prouve de môme que DHF = AIE.

4° Deux angles intérieurs du même côté valent ensemble deux angles droits. Ex. : BIH + IHD = 2 droits.

En effet, la somme des angles adjacents BIH -j- AIH =^ 2 droits; mais AIH étant égal à IHD (alternes internes), on peut remplacer AIH par IHD , ce qui donne BIH + IHD = 2 droits. On prouve de même que AIH + IHG = 2 droits.

5<» Detix angles extérieurs du même côté valent ensemble deux droits. Ex. : EIB + DHF = 2 droits.

• UYRE I. i7

£n effets la somme des angles adjacents ËIB-f BiH=2 droits; mais BIfl=DHF ( angles coft»espotidatits) ; en remplaçant BÏH par DHF, on trouve EIB + DHF = 2 droits.

On démontrerait de même que AIE+CHF = 2 droits.

Réciproques,

É&. Les théorèmes réciproques des précédents sont vrais.

i® Deux lignes AB, CD étant coupéespar une troisième EF, si les angles alternes internes AIH, IHD sont égaux , les lignes AB, CD sont parallèles.

En effet, si AB n'était pas parallèle à CD , on pourrait par le point I mettiez MN pat^lèle à CD; MN, CD étant parallèles, les angles alternes internes MIH, IHt) sont égaux; MIH=IHD; mais on a par hypothèse AIH = IHD J on aurait donc MIH = AIH ; la partie serait égale au tout, ce qui est absurde. Or on est conduit à cette absurdité en supposant que AB n'est pas parallèle à CD; donc AB est parallèle à CD.

On démontre de même que si les angles correspondants sotit égaux, par exemple, EIB=IHD, les lignes AB, CD sont paralléleê. Si la somme des angles intérieurs du même côté BIH -|- IHD= 2 droits, AB et CD sont parallèles.

SMl en était autrement, ayant fait la construction précédente, oh aurait l'égalité NIH -|- IHD = 2 droits; en la comparant à celle-ci, blfi4-tm) = 2 droits, on conclurait BIH = NlH, ou la partie égaie au tout, etc.

On démontre de même les 2 réciproques que nous n'éûohçeils pas.

Bts théorèmes précédents on en déduit d'autres , tels que celui-ci :

Deux lignes AB, Cl) étant coupées par uns troisièmeEF, si la somme des angles ÎMMeurs de même côté est différente de dexM droits, les deux lignes AB, CD ne sont pas paràl^ lèles.

Car si ces lignes étaient parallèles, la somme des angles intérieurs du înéme côté serait égale à deux droits.

Il y a iM thédrkMl ànàldgttU Ml&tif» hn\ «utrèl eôuplei d'aiiglM.

COURS DE €É0MÉTR1E.

Tliéorèmr.

60. Deux angle» qui ont les côtés parallèles sont égaux ou supplémentaires.

Considérons d'abord deux angles ABC, DEF qui ont leurs côtés

parallèles et dirigés dans le même

sens. Je dis que ces deux angles

sont égaux; pour le démontrer,

je prolonge DE à la rencontre de

BC en I; cela fait, on a Fangle

ABC=DIC (angles correspondants

formés par les parallèles AB, DI et

la sécante BC) ; de plus DEF = DÎC

(angles correspondants formés par

les parallèles BC, EF et la sécante Dl) ; deux angles ABC, DEF

égaux à un même troisième DIC sont égaux entre eux ; ABG=DEF;

ce qu'il fallait prouver.

Considérons maintenant le cas le plus général ; nous raisonnerons ainsi : soit ABC Fun des angles , et E le sommet du second angle qui a ses côtés parallèles à AB et BC. Par le point E il ne passe qu'une parallèle à AB qui est DI; le deuxième angle a donc l'un de ses côtés dirigés suivant DI; par le même point E il ne passe qu'une parallèle à BC, c'est la ligne HF; notre second angle a donc l'un de ses côtés dirigé suivant HF; ce second angle est donc l'un des quatre angles qui ont leur sommet en E. Parmi ces quatre angles^ nous avons déjà considéré DEF, qui a ses côtés dirigés dans le même sens que ceux de ABC ; DEF=ABC. Par suite HEI = DEF=ABC; DEH , supplément de DEF, est aussi supplément de ABC; de même lEF, supplément de DEF, est supplément de ABC. Notre second angle étant l'un des quatre que nous venons de considérer au sommet E, est égal à l'angle ABC ou bien est le supplément de ABC. En résumé, et d'après notre figure :

Deux angles qui ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux. Ex. : ABC, DEF.

Si lei jjfés parallèles sont dirigés deux à deux en sens contraires^ les angles sont encore égaux. Ex. : ABC, lEH.

Enfin , si les deux angles ont deux côtés dirigés dans le même sens^ et deux en sens contraires^ ils sont supplémentaires, Ex. : ABC, DEH.