LIVRE VII
8941. Mesure Dif fuseau. Supposons qu'on prenne pour unité le fuseau rectangle, c'est-à-dire le fuseau dont les deux demi-grands cercles sont perpendiculaires entre eux; la sphère entière se compose de quatre fuseaux rectangles. Si on désigne par F Tun de ces fuseaux, on a sphère = 4F. On conclut de là
fuseau PAP'B fuseau PAP'B APB
sphère 4F 4 droits*
, ,.« , fuseau PAP'B APB d'où , en simplifiant, = -^ .
APB Mais —T- est la mesure de Tangle APB. On peut donc dire que si le fuseau
rectangle est pris pour unité, le fuseau a même mesure que son angle,
8941. L'unité des surfaces sphériques généralement adoptée est le triangle trirectangle. On appelle ainsi un triangle dont les trois angles sont droits; nous n'en considérerons pas d'autre désormais.
Imaginons trois grands cercles perpendiculaires entre eux, deux à deux (/îjjf. du n** 373) ; ils déterminent sur la sphère huit triangles sphériques tri-rectangles saperposahles. Si on appelle T l'aire du triangle tri-rectangle, on a donc
^x «m « z ,* j ,x ** ^ 1*^ fuseau PAP'B APB . . sphère = ST. Il résulte de là que cette égalité, rr = , équi-
,^ „ , fuseau PAP'B 2APB ,, . fuseau PAP'B 2APB vaut à celle-ci : -;= = ^ ^ .^ ; d'où
8T "* 8 droits' T 1 droit*
Un fuseau est au triangle tri-rectangle comme le double de son angle est à un angle droit. Ce que l'on exprime autrement en disant : si Vunité des surfaces sphériques est le triangle tri'-rectanglei un fuseau a pour mesure le double de son angle.
Remarque I. Ce que nous venons de dire des fuseaux s'applique aux onglets, l'unité des volumes sphériques étant l'onglet rectangle, ou la pyramide triangulaire tri-rectangle.
Tlftéorème*
899. Deux triangles sphériques symétriques ont des surfaces égales. Soient ABC, A'B'C deux triangles sphériques égaux dans toutes leurs parties, mais qui ne peuvent pas être superposés (n<^ 357]. Soit P le pôle du cercle qui passe par les trois points A, B, G ; joignons-le à ces points par des arcs de grands cercles PA, PB, PC ; nous formons ainsi trois triangles isocèles PAC, PAB, PBC Menons, par le point P', un arc de grand cercle B'P', de manière que l'angle G'B'F = GBP; prenons VP'sBP, et menons les arcs de grands cercles P'A', P'G'. Les triangles PBG, PVG' sont égaux dans toutes leurs parties, car Us ont un angle égal compris
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entre deux eMés égaux (PBC=P1SX;'; PB=P^; BC=B'G'); ces trlattgles sent d'ailleore isocèles, donc ils sont superposables (n* 800) et leurs lûres sont égales. De plos, noas avons AP=:A'P' et Tangue ABP==A''B^P'; èomme d'ailleurs AB=Â'B', les triangles ABP, Â'B'P' sont éganx dans tontes leors parties; ils sont isocèles; donc ils coïncident. De BAP=B'A'P' et BA,C=B'A'C' on déduit que les angles PAG, FA'G' sont égaox; comme AG=:ArG% AP=A'P', les triangles APC, A'FG' sont égaux dans toutes leurs parties; ils sont isocèles et superposables.
De régalité des aires des triangles que nous avons éonsîdéi^ , il résulte que Faire de ABC = ABP + APC — BPC égale Taire de A'B'C' = A'BT' + A'P'C — BT'C. C. Q. F. D.
Remarque. Les pôles P et P' peuvent être situés dans lès triaRgles, du même sur les côtés ; mais il résulte de Tégalité des triangles aux sommets P et P', qui se démontre de la même manière dans tous les cas , que le pôle est en même temps à Tintérieur des deux triangles, ou à l'extérieur, ou sur un côté ; on conclut facilement de là Tégalité des aires des triangles proposés dans tous les cas.
GoBOLLAiRE. Deux pyramides sphériques symétriques (ayant pour bases des triangles spbériques symétriques) sont équivalentes.
Théorème.
399. Si deux grands cercles KPX', BPB' se coupent d^une manière quelconque sur un hémisphère APA'B , la somme des triangles opposés APB, AT^' e$t égale au fuseau dont Vangle est APB.
Ce fuseau se compose des triangles APBjAP'B; il suffit donc de pronrer
que A'PB' est équivalent à APTB. Pour cela, on obserre que Tare A'PA = PAP' ; d*où , en ôtant la partie commune PA, on déduit PA'=rFA; de B'PB = PBP' on , conclut de même PB'=P'B'î de A'B'A=B'AB on conclut A'B'= AB; les triangles A'B'P et ABP', ayant les côtés égaux chacun à chacun , sont égaux dans toutes leurs parties; ils sont symétriques (à cause de leur disposition) ; leurs aires sont égales (n° 377). Donc fuseau AP'B = ABP + A'BT. G. Q. F. D.
Corollaire. La somme des pyramides sphériques, qui ont les triangles PAB, PA'B', pour bases , est égale à l'onglet qui a le fuseau PAP'B pour base.
Tliéorème.
9119, La surface â!un triangle sphérique quelconque a pour mesure Vexcès de la demi-somme de ses trois angles sur deux droits,
C'estr-â-dire que,
Le raipport de Vaire de ce triangle au triangle tri-rectangle, T, est égal em rapport de Ventes susdit à un angle droit.
