LITRE VU

Soit ABC le triangle sphérique proposé. Adievons la circonférence dont BG

fait partie, et prolongeons BA et GA, à la rencontre de cette circonférence, en B' et G'. (Il est nécessaire de prolonger ces ares pour ayolr leur deuxième rencontre avec cette circonférence, puisque chacun de ces arcs AB, GA est moindre qu'une demi-circonférence,) Gela fait, on remarque que ABG et ABC' composent le fuseau dont l'angle est G ; on conclut de là et du m 376,

ABG + ABG^ fuseau G 2G T ~~ T ~~ Idr'

ABC + AB'G fuseau B 2B ,^,

de même = — - — = ^. (2)

Puis d'après le théorème précédent, ABG + AB'G' = fuseau A ,

ABC + A'B'G' fuseau A 2A donc = — - — = -r-. (3^

Additionnant les égalités (1), (2), (3), membres à membres, on trouve 2ABG + ABG + ABG^ + AB^G + AB^G' 2A + 2B + 2G

T Idr. '

mais ABC -f- AB'G + ACB + AB'G' composent l'hémisphère entier ; cette somme vaut donc 4 triangles tri-rectangles , 4T ; on a donc

2ABC+4T 2ABG , 2(A + B + G) T T t^f- '

en divisant par 2, puis retranchant 2 d'un côté, et — r- =2, de l'autre, on ob-

j[ur«

tient enfin

ABC A + B + G 2dr A + B + G -- 2dr.

T l^»". Jdr. jdr.

Ce qu'il faut démontrer.

Corollaire. On démontrerait de même qu'une pyramide sphérique triangulaire a pour mesure V excès de la demi-somme des trois angles de sa hase sur deux droits (l'unité de volume étant la pyramide tri-rectangle, et Tunité d'angle l'angle droit).

Théorème.

880. La surface d*un polygone sphérique a pour mesure la somme de ses angles, moins le produit de deux droits par autant d'unités, moins detuc, quHl y a de côtés dans le polygone.

236 COURS DE 6É0HÉTRIE.

En effet , si on joint le sommet A du polygone à chacun des autres sommets, par un arc de grand cercle , le polygone se trouve décomposé en autant de triangles , moins deux , qu'il y a de côtés dans le polygone. En écrivant la mesure de chaque triangle d'après le théorème précédent , puis additionnant, on arrive aisément à la mesure du polygone telle qu'elle est énoncée.

Remarque. Soient , S , la somme des angles d'an polygone, et , n, le nombre

de ses côtés ; on a polygone = :^^^^ ^ = ^ j^ .

L£VÉ DES MAMft. ^37

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MATHÉMATIQUES APPLIQUEES.

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