LIVRE I

Tliéorème.

61 . Deux angles qui ont les côtés pei'pendicidah'es sont égaux ou st€pplémentaires.

Je vais démontrer pour tous les cas possibles. Soit ABC Fun des augles proposés , et E le sommet du second

angle dont les côtés sont respectivement perpendiculaires à AB et BC. Par le point E il ne passe qu'une perpendiculaire à la ligne AB; soit FH cette perpendiculaire; notre second angle a nécessairement un côté dirigé suivant FH. Par le même point E il ne passe qu'une perpendiculaire à BG; soit DI cette perpendiculaire; notre second angle a son autre côté dirigé suivant DI; ce second angle est donc Tun des quatre qui ont leur sommet en E. Parmi ces quatre angles , considérons Tangle DEF de même espèce que l'angle donné ABC, c'est-à-dire aigu comme lui; je dis que DEF == ABC. Pour le démontrer^ je mène par le point B une parallèle BO à ED, dirigée dans le même sens que ED; cette ligne BO est^ comme sa parallèle ED^ perpendiculaire à BC; par le même point B je mène BM parallèle à EF, dans le même sens que EF ; BM est perpendiculaire à BA. J'ai ainsi formé un angle MBO égal à DEF (théorème précédent^ 1" cas) ; il me suffira donc de prouver que MBO = ABC. Or, à cause de OB perpendiculaire à BC , ABC -f ABO = OBC = i droit ; à cause de MB perpendiculaire à AB, MBO -f- ABO = MBA =1 droit. On conclut de ces deux égalités ABC -f- ABO = MBO + ABO ; d'où on déduit, en retranchant ABO de part et d'autre, ABC = MBO. Mais MBO = DEF; donc ABC = DEF.

Cela posé, IEH = DEF = ABC; DEH supplément de DEF est aussi supplément de ABC; enfin lEF, supplément de DEF, est supplément de ABC, Notre second angle , qui est l'un des quatre angles au sonmiet E, est donc égal à ABC ou supplément de ABC. Deux angles qui ont les côtés perpendiculaires sont égaux quand

10 COURS DE OÉÛMÉTRIB.

«75 sont de même espèce^ cest-à-dire tqus deux aigus ou tous deux obtus; ils sont supplémentaires quand ils sont d'espèces différentes (*).

Tltéorème.