Trois points A,B,C étant situés tur un lerratH uni, W

rapportés sur une carte en a.b,c, déterminer sur cette carte Ir

(loint M , â'oh les distances AC, BG ont été vues sous des angles

reinnus {^j. 21).

On obtient le pointm homologue au point H en décrivant sur

ac un segment de cercle capable de

l'angle AMC, et sur bc un segment capable de l'angle BMC; le point m où ces deux arcs se coupent une seconde fois, est U position cherchée de M sur la carte.

Ce problème s'applique quand on n'a qu'un seul point à déterminer sur un terrain dont on a déjà le plan.

LEVÉ D8S PLlfiS. 25%

Aibs) qu'on le voit, il n'exige dans ce cas qu'une senle slntion , et n'oblige à la mesure d'aucune longueur. '

•W. Ti» trou points donnée , A, B, C, sur un lerrain {fig. 24) , faire passer utie circonférence Iws même qu'on ne peut approcher du centre.

On peut obtenir chaque point n de la circonférence par l'opération snivante : Ayant mesuré au graphomètre les angles CBA, CAB, on jalonîiera une direction quelconque AN; ayant mesuré l'angle NAB on construira l'angle N'BAï= CBA + CAB—NAB. Le point de rencontre, n, de la ligne AN et de la ligne BN', ainsi détermiiiéi;, apjiartient k la circonférence demandée. 11 résulte i en effet , dé réalité précédente, que la somme des angles à la basé nAB, nBA, du triangle ABn, est égale il la somint; de» angles à la buse,> CBA + CAB, du triangle ACB; donc le sommet, n,de AhB = ACB est sur l'arc du segment de cercle capable de l'angle ACB, cdn^ struit sur AB comme corde. En répétant cette opération un aussi grand nombre de fois que l'on veut , et en rapprochant suSisam-' ment les lignes isiiues de A , on obtient autant de points de la circonférenee demandée, aussi rapprochés que i'on veut; on les réunit par une ligne continue , qui est approximativement celle qu'on cherche. On obtient la partie de la circonférence située de l'autre côté de AB par rapport au point C , en em[doyBnt, de ce côté, le supplément de l'angle ACB comme on vient 'd'en^>loyér celui-ci. " '

41. REiuaguE. On peut abréger l'opértiion et hii donner une cert^ne régidarité en procédant comme il suit : On divise l'angle CAB en un certain nombre de parties égales (8 par exemple] , et on numérote les lignes de division de l'ô 8;à partir deCA exàiisiveotent. On fait au point B, avec BC, en dehors de l'angle CBA, des angles égaux k chacune des parties de A; on numérote leâ nouvelles lignes, de I à 8, en partant de BC exclusivement. T^s points

âS6 couiia -DB GioaÉTRlE.

de rencoDtK des lignes portant les mêmes numéros sont des points de la circonférence cherchée. En effet, supposons que les lignes AN, BN' portent toutes deux le n* 5, et soit a l'une des 8 parties de A. On a CAn = 5a/d'où nAB=:3o; d'un autre côté j nBC = 5ay donc nBA = nBC4-CBA = 5fl + CBA;donc nAB -f nBA = 3a + 5o + CBA = CAB + CBA , et enfin A«B = ACB. C. Q. F. D.

NOTIONS SUR l'arpentage.

4fi. L'aipentage a pour objet la mesure de la surbce des terrains. Les instruments de l'arpenteur sont l'équerre et la cbatoe, dont nous avons donné la description (n** 8 et 19). Nous avons indiqué en géométrie. Livre IV, n* 193, la marche à suivre pour détenir l'aire d'un polygone. Cette méthode est appUcaUe à la mesure d'un terrain quelconque terminé par des ligne» doutes. Voyez, par exemple, la figure 10, page 2i?i; la surface de terraiu ABCDEFG (dont on peut lever le plan, si on veut),, est une somme de triangles rectaDgles et de trapèzes dont il faut retrancher le triangle AA'N ; on calcule les aires de toutes ces figures à l'aide des longueurs AA^ BB'.,.; A'N, AW, etc., mesurées à ladialoe, et que l'arpenteur a inscrites à son carnet, sur un croquis do terrain reproduisant les perpendiculaires employées. Si la base est choisie hors du polygone, on opère comme il est indiqué n" 192, livre IV,

43. Mesure d'un terrain terminé par tnte ligne ceuràe. Il ne nous reste donc qu'à nous occuper de la mesure d'un i&frna terminé par une ligne courbe ou sinueuse. On peut , à l'aide de pwpendiculaires, partager le temùn en plusieurs trapèzes mixtilïgnes, leb que AogQ [fig. 33). la question est alors ramenée à évaluer l'dfe d'tm trapèze limité par une courbe AG, un axe xy et deux ordotmét» extrêmes (des perpendicttlaires à la base); on peut la résoudre comme il suit.

44. MÉTHO»E DKs THAFÈzEs. Uu partage l'intervalle ag en un certain nombre n de parties égales , cl par les points de division un

■:■ vï-^y-irr c*

KOTIORS SUR L ARPERTME.

iyi

^èvedesperpeRclicul(iire8 6B,cC,(fl),etc... Si la distance, S, com- .prise entre deux perpendiculaires ou ordonnées consécutives, est assez petite, on peut, sans grande erreur, regarder les arcs Afi, BC, etc., comme de petites Ugnes droites, et les âguresAo^Et, BbcC, etc., comme des trapèzes rectilûpies que l'on sait mesurer. Soient ;/t,yi,y,t—, les longueurs des ordonnées \a,Bb,..., et S la stirface AagG, nous avons, à fort peu près,

s = ,(^i) + 8(341.) + .(4i.)+ ... .(fcd:»=).

Cette formule équivaut à celle-ci :

si on appelle Y la somme des ordonnées

. L'aire d'un trapèze curviligne a pour valeur approchée le produit de la distance comprise entre deux ordonnées consécutives par la somme de foutes les ordonnées diminuée de la demi-somme des ordonnées extrêmes.

On peut se donner des nombres et appliquer cette formule; ce travail n'offre aucune diliiculté.

4S. Apfucation. Soit h arpenter un terrai» limité par une ligne courbe sinueuse, comme celle que représente la fig, 31. On le décompose, comme il est indiqué, en trapèzes on triangles que l'on mesure d'B(Kès les méthodes connues, ^'en trapèzes mixtilignes que l'on mesure comme il vient d'être indiqué pour la figure At^.

Cette décomposition estcelle que l'on préfère quand on veut construire, avec autant {l'exactitude que possible, le plan du terrain (n" 24).

858 COURS DE GÉOM^TIIIB.

46. Mais eÏ on veut seulement calculer avec rapidité la con>:

tenaïKie d'une pièœ de terne, on peut opérer comme il suit {fig. 25).

On plHiite des jalons en A, H, C,...G, de manière è déterminer un polygone ABCDEFG dont la Eurface soit égale, a peu de chose près, à celle du twrain considéré; pour cela, on dioisil les points A, B , ... de manière ijue les parties retranchées soient compensées; par les parties ajoutées. Un peu d'habitude suffit pour établir les jalons de niaaière k opérer, cette compensation. Si on voulait une exactitude presque mathématique, on calculerait [n" 45) les surfaces ajoutées et retranchées, afin de modifier la position des jalons, si les deux sommes comparées différaient trop l'une de l'autre. En tout cas, les positions^ des jtùoia fixées, on calcule l'aire du polygone que l'on regarde comme celle du terrain. , . ,

47. Arpenter un terrain dans lequel on ne peut pénétrer ou tirer des lignes.

Enfin, on doit souvent arpenter certaines superricies^ comme un bois, une pépinière, un marais, une récolte sur pied , etc. . dans lesquelles il n'est pas possible de pénétrer, de tirer des lignes, d'élever des perpendiculaires; alors on ne peut plus employer les procédés que nous avons indiqués. Voici comment on y supplée. Soit ABCDË {/ig. 26) un terrain dans lequel on ne peut pénétrer. On commence par envelopper ce terrain dans un rectangle ou duis un trapèze, comme il est indiqué... , après avoir fait planter des jalons à chaque angle ou point saillant du contour. Ou détermine lasurface de cette ligure auxiliaire MNPQ; on eu retranche les airrs

NOTIONS SUK l'aRPEXTAGE. 259

des parties MA'EE', E'EQD, extérieures au terrain que l'on

veut nnesurer; la différence est évidemment Taire cherchée. Les figures extérieures à cette aire peuvent être des trïipèzes mratilignes tels que AagG [fig, 23).