Toute corde , AB, est plus petite g^'un diamètre

UYRE II.

En effet, un diamètre vaut deux rayons, et la corde AB est plus

petite que la somme AO + OB des deux rayons qui aboutissejQt à ses extrémités.

Remarque. Chaque corde partage la circonfé- E renée en deux arcs inégaux, Vxm plus petit, Tautre plus grand qu'une demi-circonférence. Ex. ; AJMB, ANB. La corde AB sous-tend Tun et Tautre de ces arcs; mais à moins d'une mention expresse, quand on parle de Parc sous-tendu par une certaine corde, il s'agit toujours de Tare plus petit qu'une demi-circonférence.

DBPINDANGB MUTUBLLI DBS ARCS KT DgS COBMS.

Tliéorème*

86. Des arcs égaux appartenant à la même circonférence, ou à des circonférences égales , sont sous-tendus par des cordes égales. Autrement dit :

Quand deux arcs de même rayon sont égaux, leurs cordeè sont égales.

Supposons que CD étant égal à OA, l'arc AMB = DNE, je dis

que la corde AB égale la corde DE. Pour le démontrer, je transporte le secteur CDNE sur AOMB, mettant le rayon CD sur son égal OA, le point C en et le point D en A; cela fait, Tare DNE partant de A, devra coïncider dans toute son étendue avec AMB; en effet, si un seul point de DNE, N par exemple, tombait ailleurs que sur l'arc AMB, c'est que le rayon CN correspondant à ce point, N, serait plus petit ou plus grand que QA = CD ; ce qui n'est pas.

L'arc DNE se plaçant sur AMB à partir de A, sa deuxième extr(';mité E tombera au point B, puisque ces deux arcs sont égaux; les deux droites DE, AB ayant leurs extrémités communes, coïncident dans toute leur étendue et sont égales.

40 COimS DE GÉOMÉTRIR.

Tltéoi^me.

87. Deux cordes égales tracées sur le même cercle ou sur des cercles égaux sous-tenderU des arcs égaux.

Soient (sur la même figure] en même temps que OA = GD^ la corde AB=DE; je dis que Tare AMB = rarcDNE. En effet, d^abord les triangles AOB, COD ayant les trois côtés égaux , chacun à chacun, sont égaux; donc Tangle DGE = AOB. Cela posé, transportant le secteur GDNE sur le secteur OAMB, je place le rayon CD sur son égal OA, le point C en et le point D en A; puisque rangleDCË = l'angle AOB, le rayon CE tombe alors de lui-même sur son é^al OB, et le point Ë arrive en B; cela étant, les deux arcs CNE, AMB coïncident évidemment dans toute leur étendue ; ils sont donc égaux.

88. Si deux arcs pris sur la même circonférence ou sur deux circonférences égales sont inégaux , le plus grand arc est sous-tendu par la plus grande corde.

Le rayon OA étant égal à CD, si Parc AE'B est plus grand

que DNE, la corde AB est plus grande que DE.

Pour le démontrer, transportant la figure CDNE sur GABB, je place le rayon CD sur son égal OA, le point C en et le point D en A; Tare DNE s'appliquera sur AE'B à partir de A ; mais conune DNE est plus petit que AE'B, le point E tombera £ en E'^ en deçà de B; de sorte que la corde DE

i^//\ ^^ aura la position AE'. Cela fait, si on compare les l^,...\ \ triangles AOB, AOE', on trouve le côté OA com- J^r ^ y mun, OB == OE' et l'angle AOB plus grand que X,^^^^ AOE'; donc le troisième côté AB du premier est plus grand que le troisième côté AE' du second (31) ; AB > AE'=DE; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Réciproque.

89. Sur la même circonférence ou sur des circonférences égales , la plus grande corde sous-tend le plus grand arc.