LIVRE II

Soient^ par exemple (figure précédente) , sur les circonférences ^les et C, la corde AB plus grande que DE, je dis que Tare AE'B est plus grand que DNE. En effet, si AEB n'était pas plus grand que DNE, on aurait AE'B = DNE, et par suite la corde AB=Ca), ce qui n'est pas, ou bien AE'B plus petit que DNE et par suite, d'après le théorème précédent, la corde AB plus petite que DE , ce qui n'est pas. L'arc AE'B ne pouvant être ni égal à DNE, ni plus petit que cet arc, est plus grand que lui. C. Q. F. D.

90. Le rayon perpendiculaire à une corde divise cette corde et Parc 80U8-tendu chacun en deux parties égales. Soit, par exemple, le rayon OD perpendiculaire à la corde AB;

il divise cette corde, et Farc sous-tendu ADB, chacun en deux parties égales. En effet, les obliques OA, OB étant égales comme rayons, doivent s'écarter également du pied de la perpendiculaire OC; donc AC=CB et le point G est le milieu de AB. Cela posé, les cordes AD, DB obliques s'écartant également du pied G de la perpendiculaire sont égales entre elles; donc Tare AD=DB. Le théorème est donc démontré.

Le rayon OD étant prolongé vers le haut de la figure, divise évidenunent l'arc AED en deux parties égales, car la corde AE égalerait la corde EB.

l. Remarque. Le diamètre ED perpendiculaire à la corde ÂB , remplit cinq conditions distinctes. Il est perpendiculaire à ÂB et passe par quatre points distincts et déterminés, 0, G, D, E; deux quelconques de ces conditions suffisant pour déterminer une droite, c'est^-dire, ne pouvant être remplies par deux droites différentes, dès qu'on aura reconnu qu'une droite remplit deux quelconques de ces conditions , on pourra affirmer qu'elle remplit les trois antres.

Ex. : La droite qui joint les milieux des deu» ares sous-tendus par une carde, est un diamètre perpendiculaire au milieu de cette corde.

Le rayon qui passe au milieu de Varc sous-tendu par une corde, est perpendiculaire au milieu de cette corde, et son prolongement va passer au milieu du second are sous-tendu par cette corde.

92. Dans la même circonférence ou dans des circonférences égales j dettx cordes égales sont également éloignées du centre; et réciproquement.

AB = ED; je dis que 01 = OC. Pour le démontrer, je mène

les rayons OE, OA; j'obtiens aussi deux triangles rectangles OIE, OAC qui ont Thypothénuse égale, OA = OE (rayons); et un côté de l'angle droit égal, AG=£I (moitiés de cordes égales); ces triangles sont donc égaux; par suite, le troisième côté OC de Tun égale le troisième côté 01 de l'autre; OC =01; C. Q. F. D.

Réciproquement, si on avait , à piori, OC = 01 , on en conclurait l'égalité des mêmes triangles rectangles AOC, OEI; d'où AC=IE; mais AC=iAB; lE=iED; donc AB = ED.

Tltéorème.

83. De deux cordes inégales^ la plus grarde est la moins éloignée du centre, et réciproquement.

Soit la corde AB plus grande que la corde CD; alors Tare

AD'B est plus grand que Tare GND (89) ; nous pouvons donc prendre sur ADB un arc AD'= GND ; tirons la corde AD', et abaissons sur AD' la perpendiculaire AI'; comme AD'=:CD, la distance 01' =01 (théorème précédent). Cela posé, on voit immédiatement sur la figure que OE perpendiculaire est plus courte que OH, oblique; d*où, à fortiori, OE<Or, ou OE<OI; ce qu'il fallait démontrer.

Réciproquement .

De deux cordes AB, CD qui s'écartent inégalement du centre, celle qui est la moins éloignée du centre est la plus grande; si 0E<01, AB>CD.

En effet, si AB n'était pas plus grand que CD, ou bien on aurait AB=CD, et par suite la distance OE=OI (92), ce qui est con-