LIVRE

prend immédiatement qu'un angle de lO" est égal au f| de Tangle droit.

107. La désignation de la mesure de Tare faisant ainsi connaître immédiatement, et sans qu'aucune explication soit nécessaire, la mesure de l'angle, on dit par abréviation :

Un angle a pour mesure tel arc désigné. Par exemple :

U angle au centre d'une circonférence a pour mesure Varc compris entre ses côtés.

On dit même et on écrit qu'un angle est égal à un arc.

De l'une et de l'autre manière, on exprime simplement l'égalité des nombres qui représentent l'angle et l'arc rapportés à leurs unités respectives.

108. Angles inscrits. On peut faire servir à la mesure d'un angle d'autres arcs que ceux qui ont pour centre le sommet de cet angle. Les théorèmes que nous allons exposer à ce sujet sont surtout utiles pour la comparaison des angles d'une même figure.

Un angle est dit inscrit dans un cercle quand il a son sommet sur la circonférence et que ses côtés sont des cordes.

Un polygone est dit inscrit à un cercle quand tous ses sonmiets sont sur la circonférence.

Une figure rectiligne est dite circonscrite à un cercle quand tous ses côtés sont tangents à la circonférence.

Théorème.

109. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Il peut se présenter trois cas.

!• Un des côtés passe par le centre. Ex. : l'angle BAC.

Tirons BO ; l'angle BOG extérieur au triangle BAO est égal à la

^y somme des deux angles intérieurs non adjacents

y^-'-y'fr^ A et B (n 63) ; mais BO étant égal à AO, l'angle

// \ \ A = B; donc l'angle B0C==B + A = 2A, et

B K- jo\ j réciproquement l'angle A' est la moitié de l'angle

V I Y/ BOG. Mais BOG, angle au centre, a pour mesure ^*-L->--^ la moitié de l'arc BG intercepté entre ses côtés;

donc l'angle A a pour mesure la moitié de BC.

5i COURS DE GÉOMÉTRIE.

Par exemple, si BC est un arc de 64®, Tangle BAC est un angle de 32°.

2° Le centre est dans l'intérieur de Tangle. Ex. : l'angle BAD.

Cet angle BAD est la somme des angles BAG^ CAD qui sont dans

le premier cas; mais BAC a pour mesure - BC ; CAD a pour me-

sure r CD; donc Tangle BAD a pour mesure 5 BC + 5 CD = - BD;

c'e$t-à-dire la moitié de Tare compris entre ses côtés. 30 Le centre est en dehors de Tangle. Ex. : l'angle CAD.

Menons le diamètre AI ; nous remarquons alors que Tangle proposé CAD est la dîflférence entre les angles CAI^ DAI qui sûïit dans lé premier

cas. CAI a pour mesure r CI; DAI a pour me-

sure 5DI; donc CAD = CAI — DAI a pourme-

sure -CI — ^DI==^CD.

Notre théorème est donc vrai en général.

110. Remarques et corollaires. Si on joint un point de Tare ^c qui limite un segment de cercle aux extrémités

D de la corde de -ce segment, on obtient ce qu^on appelle un angle inscrit dans ce segment, Ex. : ACB.

Tous les angles inscrits dans un même segment de cercle sont égaux entre eux, Ex. : ACB, ADB. En effet , tousces angles ont pour mesure la moitié du même arc AEB.

Tous les angles inscrits dans un demi- cercle sont des angles droits. En effet, ils ont pour mesure la moitié d'une demi-circonférence ou un quadrant.

Tous les angles inscinis dans un segment plus grand qu'un demicercle sont aigus, Ex. : ACB, ADB.

Sn effet, Tare £B étant moindre qu'unç demi-circonférence,