LIVRE H

-AEB, mesure de nos angles, est moindre qu'un quadrant.

Tous les angles inscrits dans un segment plus petit qtiun demicercle sont obtus, Ex. : AEB.

En effet 9 l'angle ACB qu'ils interceptent est plus grand qu'une

demi-circonférence ; - ACB , mesure de AEB , est plus grand qu'un

quart de la circonférence.

Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle valent ensemble deux droits^ sont supplémentaires. Ex. : dans le quadrilatère inscrit ACBE^ on a G + E = 2 droits.

£d effet . la mesure de G est > AEB ; celle de E est - AGB ; la

sonmie C -|- E a pour mesure - ( AEB -f- AGB ) , c'est-à-dire une

demi-circonférence qui est la mesure de deux droits. La réciproque de cette proposition est vraie.

Théorème.

il i. V angle formé par une corde et une tangente a pour mesure la

moitié de l'arc compris entre ses côtés. Ex. : l'angle GDB = -CD.

Pour le démontrer, tirons le diamètre DM; il est perpendicu- M laire à la tangente AB. On a GDB =

~^^ MDB— MDC ; or l'angle droit MDB a pour

\ mesure un quadrant qui est la même chose ^ A que la moitié de la demi-circonférence

A ^-^/^ B MCD; MDB=^MCD: l'angle inscrit MDC

a pour mesure ^^^J donc l'angle GDB = MDB — MDC a pour

mesure J MCD — ^MG ou ^DC.

Qq prouverait de «Démeque l'angle ADC a pour mesure rDMC.

Théorème*

112. Un angle qui a son sommet dans Vintérieur d*nn cercle a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés ^ plus la moitié de l'arc compris entre leurs prolongements. Soit, par exemple, Tangle AOB. Tirons GA; l'angle AOB exté-

. c. 4> rieur au triangle AOG est égal à la somme ^es

angles intérieurs non adjacents, A et G, qui sont inscrits dans le cercle. L'angle G a pour me-

sure - AB ; Tangle A a pour mesure 5 GD ; donc

AOB = G + A a pour mesure 5 AB + - GD.

Tltéorème.

.115. Un angle qui a son sommet hors du cercle a pour mesure la moitié de la différence des arcs compris entre' ses côtés.

Ex. : Tangle ABC a pour mesure - AC — -DE. En effet, ayant

tiré AD, nous voyons que Tangle ADG=ABD+

BAD, d'où on déduit ABD = ADG— BAD. Mais

Tangle inscrit ADG a pour mesure 5 AG; l'angle

BAD a pour mesure -^^x donc B = ADG —

BAD a pour mesure -AG — 5 DE.

Problèmeii.

114. Appliquant ce qui précède, nous allons nous occuper de la construction régulière des figures géométriques les plus simples et des opérations graphiques les plus élémentaires que l'on peut