LIVRE U

qui feAcontrent les premiers aux points D et Ë; la droite DE qui passe a|i point G est la perpendiculaire demandée. En effet, chacun das pdnts Ë, D^ étant paiement distant des points I et H ^ la droite DE est perpendiculaire à IH en son milieu C^ ou à AB^ qu art b ligne lU prolongée.

Rekarque. Si le point G était à Textrémité d'une droite qu'on nt

pim» pas prolonger y on élèverait une perpendiculaire à cette

draitQ en un autre point quelconque ; puis on mènerait par le point

Cl ima paniUèle à cette perpendiculaire , à Taide de Péquerre (i^)«

On peut aussi opérer comme il suit : du point pris quelcon-

que au-dessus de CB comme centre^ avec le rayon OC, on décrit une circonférence qui rencontre la droite donnée en G et en E ; on mène le diamètre EOH, puis on tire GH, qui est Q Nt,.,,,-^^^ "b la perpendiculaire demandée; en

efifet^ Tangle UCE inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

emploi 4ê V4qu9rre. Quelque part que soit le point donné G^ on «inipl^ Iti, çou»\ifuc^m en employant une équerre vérifiée exacte. Ptaçant lo wmxf^^ 4e Tangle droit de l'équerre en G, on fait coïncider Tm 4oft odté^ ftvec la droite donnée ; puis on tire le long du seoond côté de Tauc^e droit une ligne y qui est évidemment la perp0P(}i(Hll^e denwidé^.

Mais^ nous le répétons , il faut^ pour opérer ainsi ^ une équerre vérifiée,

rrolili^me.

124. Abaisser d*un point G donné, hors dhme droite AB, une perjiWiiculaire à cette ligne.

Ou point donné G coum^e centre , avec un rayon suffisammei

grand , on décrit un arc de cercle qr .^c rencontre la droite AB en deux points

^^ DjE; de D comme centre, avec un

rayon plus grand que la moitié de DE , ""ïT on décrit deux arcs de cercle, Tun audessus, l'autre au-dessous de AB,- puis é^ 'H de E comme centre, avec la même ouver-

ture de compas ^ on décrit deu^^ autres

arcs de cercle qui rencontrent les .premiers en I et H; les trois points G^I^H étant également distants de D et E^ si on joint IH^ on a une droite IH passant par le point G^ et perpendiculaire à DE en son milieu^ et par suite à AB.

Emploi de Véquerre. On simplifie la construction en employant réquerre, pourvu que ce soit une équerre vérifiée.

On dispose l'équerre de manière que Tun des côtés de Tangle droit glissant sur AB , l'autre vienne passer par le point G; alors en tirant une ligne le long de ce second côté ^ on a la perpendiculaire demandée.

ProMème.

125. Décrire une circonférence guipasse par trois points donnés. Ce problème est complètement résolu p. 45, n*» 97. Circonscrire une circonférence à un triangle donné ABG. C'est le même problème ; on doit faire passer une circonférence par les trois points donnés A, B, G, non en ligne droite. Ayant mené les perpendiculaires DO, FO à AB, BG^ en leurs

milieux, nous avons fait voir que OA=OB =0C; de OA=OG on conclut qoè le point appartient à la perpendiculaire élevée au c milieu du troisième côté AG. De là ce théorème : les perpendiculaires élevées aux milieux des trois côtés d*un triangle passent au même point.

Problèiiie.

1 I^G. Inscrire une circonférence dans un triangle donné. Je suppose le problème résolu ; soient le centre de la circonférence demandée; E , I , D, les points de contact a?ec les trois côtés du triangle; les lignes OE, 01, OD, sont des perpendiculaires à AB , AG , BC, égales entre elles conmie rayons; le centre de la circonférence à construire devant être également distant de AB et AG , se trouve sur la bissectrice de Tangle ABG (48) ; je mène cette bissectrice AO (122) ; ce même point devant être également distant des lignes AB, AG , se trouve sur la bissectrice de Taugle ABG ; je mène cette bissectrice BO. Les deux bissectrices se ren-