LIVRE II

contrent en ; abaissons de les perpendiculaires 01, OE, OD ; étant sur AO, on a OI = OE; étant sur OB, on a OE=OD; donc 01 = OE = OD ; DeO comme centre , je décris une circonférence avec OE pour rayon ; cette circonférence touche évidemment les trois côtés aux points E, I, D.

G^est la seule circonférence que l'on puisse inscrire ; en effet , il résulte du raisonnement que nous avons fait en commençant , que toute circonférence inscrite ne peut avoir pour centre que le point commun aux bissectrices , lequel est unique.

Remarque. Le point 0, point de rencontre des bissectrices AO, BO, étant tel que 0! = OE =0D, à cause de 01 = OD, se trouve sur la bissectrice de Tangle BGA : donc les bisseetrices des trois angles d'un triangle concourent au même point.

En prolongeant chacun des côtés du triangle dans les deux sens , et considérant les espaces tels que HBGK, on voit, en menant les bissectrices qui rencontrent au même point AO prolongée , qu'on peut inscrire dans chacun de ces es paces une circonférence tangente à la fois aux 3 lignes, AB, AC^ BG prolongées indéfiniment. 11 y a 3 espaces de ce genre en dehors du triangle ABC ; on peut donc décrire 4 circonférences tangentes à 3 droites AB, AG, AD, qui se coupent deux à deux; les 3 dernières indiquées sont dites ex-^nscrites au triangle ABG.

Problème.

127. Mener une tangente à une circonférence par un point A donné sur cette circonférence.

Il suflSt évidemment de joindre le centre au point donné A, et de mener, par le point A, une perpendiculaire à ce rayon (à Taide du compas ou de Féquerre ).

Problème*

128. Par le point A extérieur à un cercle mener une tangente à sa circonférence.

Je joins le point A au centre 0, puis je divise la droite OA en

,.'- -.,, deux parties égales; du milieu I

•^^ — .,^/B '\ comme centre , avec le rayon 10 = TA

^/^ // nT^^-*-.,.^^^^ \ je décris une demi-circonférence qui

I of t — ----.~J^^^5>iA rencontre la circonférence donnée

V ^^ 5^---"^'"""^ / en B et en C; je tire AB,AG; chacune

J^>^ \c^ de ces lignes est tangente à la cir-

' * • '' conférence donnée.

70 KOVAS DE GÉOMÉTRIE.

En effet, si on inène le rayon OB, on forme nfl ângie OBA qui est droit; car il est inscrit dans une detni-drconférence {ltO];la ligne AB perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB est une tait* fente menée de A à la circonférence donnée 0; il en est de ménie de la ligne AC.

AB et AC sont les icules tangentes que I'od puisse mener du point k k «Mb tinootèteDW ; en eïïet, s'il y en iTalt ana troltlèiM, oell»^ ■arall «M pMnt de eontiot en un e«ruin point N de l'are BMC , on m un potnl M d* l'are BHCi ImaslDans menéi e«tle tangente et le rajon ON ; i'angla ONA qVl «mit IM

sommet datie TintéTleur de la circonférence I , aurait pour mesare - OBA , 'oïl

un quadrant, plus la moitié de rare compris entre sescAtCs prolODiii ■B»ai»iia de K; cet angle ONA seraltOMUs; la ligna AN, n'ManipaiptriMwUniWM «Il rayon ON, ne serait pas tangente. On prouf e de même qo'uM Ugne AH aUwt de A A on point de rare AHB ne pent être tattgenWt l'wsle AMOMMt tf|lik

ll!9. Mmer jme tangente commune à deux cercles. Une tangente commune peut être extérieure aux deux circonférences, c'est-à-dire les laisser toutes deux du mAme edté, ex. : AA' ; ou bien iniirieure, passant entre les deux ciTeMifénncn qu'elle sépare enUèremeilt l'une de l'autre, ex. : CSC.

Supposons menée une tangente commune extériem-e AA', et les deux rayons OA, O'A' aux points de contact ; si on mène par le point 0' une parallèle 01 à la tangente A'A, cette ligne 01 , ren-