LIVRE II

contrant OA^ en détache une partie IA=0'A' et laisse au-dessous une seconde partie OI=OA— O'A'; comme d'ailleurs 01 parallèle à AA' est^ comme celle-ci^ perpendiculaire à OA, il résulte de là que si du point comme centre, avec un rayon égal àOI=OA — O'A'^ on décrit une circonférence, cire. 01, celle-ci aura pour tangente cette parallèle O'I menée du centre O' à la tangente commune. Or k circonférence 01 peut être tracée, on peut lui mener une tangente par le point 0'; évidemment une parallèle AA' à cett» tang^ite 01, menée à une distance lArriO'A' sera une tangente oomintine; car elle sera perpendiculaire aux extrémités de deux rayons parallèles OA, O'A'. De là cette construction :

PûHit mener ur^ tangente commune extérieure à deux cireonfé^ réftaeê données et 0', du centre de l'une avec un rayon égal à ta di/féfimcê dé leurs deux rayons , on décrit une circonférence, cire, 01 J du centre 0' de l'autre circonférence , on mène les tangentes 01,0'K à ûêftê nouvelle circonférence 01; puis^ aux points de contact, les rayons 01, OK, que l'on prolonge jusqu'à la grande circonférence en A et B; par ces points A, B on mène successivement des parallèles AA',BB' aux tangentes 01, 0'K; AA', BB' sont deux tangentes communes extérieures aux circonférences données, les seules qu'on puisse mener (*).

Car AA', BB' remplissent chacune les conditions indiquées par l'analyse précédente, et peuvent seules les remplir.

Soit maintenant une tangente commune intérieure CG; menons les rayons OC=:R, 0'C'=R' et prolongeons O'C jusqu'à OM parallèle à GC menée par le centre ; &M. est perpendiculaire à OM; déplus 0'M=0'C'+(yM=0'G'+OC=R'+R; si donc de 0' comme centre avec un rayon égal à la somme des rayons , O'C'-fûC, des circonférences données, on décrit une circonférence, celle-ci aura pour tangente cette parallèle OM menée de

(*) €eax ffùi préfètent la méthode synthétique commenceront par indiquer cette construction , qu'ils pourront justifier à posteriori comme il suit :

De ce que 0l = R — R' = R — lA, on conclut que IAt=R'; si on mène O'A' parallèle à OAi la figure lO'A'A est un parallélogramme, et même un rècfallf i0i puisque l'angle I est droit (01 tangente] ; de sorte que O'A' = lA sR' | donc AA' est perpendiculaire aux extrémités des rayons OA , O'A' des deuit oifDoiiléreBMs ; c'est donc une tangenta commune à ces deux courbea^

On démontre de même pour BB'.

à la tangente commune CC'. Or cette circonférence de rayon, R-f H'^ peut être construite immédiatement; on peut lui mener de une tangente OM ; évidemment une parallèle à cette tangente OU, menée entre les deux centres et 0', à la distance MG=.OC, sera une tangente commune^ car elle sera perpendicuhûre aux extrémités de deux rayons parallèles. De là cette construction :

Construction. Pour mener une tangente commune intérieure à deux circonférences données et 0', de l'un des centres C avec un rayon égal à la somme des rayons donnés, R-j-R'^ on décrit une circonférence y cire. O'M, à laquelle on mène, du centre de l^autre circonférence donnée, des tangentes OM,OL; on joint le centre 0' à chaque point de contact M ou L; ces lignes (VM, Oli rencontrent cire. 0' en G et h'; par G et D' on mène successivement des parallèles GC, D'D à OM et OL j C'C et D'D sont deux tangentes. communes intérieures à cire. et cire. 0', les seules qu^on puisse mener (*); car ces deux lignes remplissent seules toutes les conditions indiquées par l'analyse précédente.

Discussion. Notre raisonnement prouve , dans Tun et l'autre cas, qae les tangentes extérieures ne peuvent exister sans les tangentes O'1, 0^, et réciproquement; ni les tangentes intérieures sans les tangentes OM, OL, et réciproquement. Il n'y a donc pas d'autres tangentes communes possibles que celles que nous avons indiquées.

Pour que les tangentes O'I, O'K puissent être menées, il faut et il suffit que le centre 0' ne soit pas intérieur à la circonférence décrite de comme centre avec un rayon égal àR — R\ c'est-à-dire que Ton n'ait pas la distance des centres D<R— R'.

De même,, pour que les tangentes OM, OL puissent être menées , il fout et U sufdt que le centre ne soit point intérieur à la circonférence décrite du centreO' avec le rayon R + R'j c'est-à-dire que l'on n'ait pasD<R + R'. Cela posé « on peut résumer ainsi tous les cas possibles.

1** Si les circonférences données sont extérieures l'une à l'autre , on a D > R+R', et d fortiori D > R— R' ; on peut donc alors mener îm 4 tangentes communes.

4* Si les circonférences se touchent, D=R+R'; etD>R— 'IV; la circonférence O'M passe par ; les deux tangentes OM , OL se réduisent à une seule ; il y a une seule tangente intérieure et deux extérieures.

{*) Ceux qui prérèrent la méthode synthétique pourront commencer par faire les constructions indiquées , qu'ils justifieront ensuite comme dans le premier cas.

De ce que O'M = R' + R = O'C + CM , on conclut CM -= R , etc. , comme dans le cas précédent.