LIVRE I

19. Corollaire III. La somme des angles kCF, FCE^ ECD^ DCB, ^£ en nombre quelconque, formés du même coté

,j^ d'une ligne y AB, par plusieurs droites qui ren-

contrent cette ligne au même point, est égale d

^ ^ ^ deux angles droits.

En ejffet les angles ACF, FCE, ECD connposent à eux tous l'angle AGD, et ACD + DCB = 2 droits.

20. Corollaire IV. La somme des angles, en nombre quelconque,

formés autour d'un même point est

X égale à quatre angles droits.

Prolongeons Tune des lignes AO dans le sens 01; l'angle COD est seulement divisé en deux parties , et la sonune des angles reste la même.

Or la somme de tous les angles situés ^ ^ au-dessus de lOA est égale à deux

droits; tous les angles situés au-dessous de lOA valent aussi deux droits. La somme de tous les angles réunis au point est donc égale à quatre droits.

Tltéorème*

91 . Si la somme de deux angles adjacents ACD , DCB est égale à deux droits, les côtés extérieurs (c^est-à-dire non conununs) AC y CB sont en ligne droite.

En effet , supposons que CB ne soit pas le prolongement en ligne

droite de AC; alors AC aura pour prolongement une autre droite CE. La ligne ACE étant droite j il résulte du théorème précédent que ACD + DCE = 2 droits; mais^ — B . par hypothèse, ACD + DCB = 2 droits ; ■^' donc ACD + DCE = ACD + DCB. 81 de ces deux sommes égales, on retranche la même partie ACD, les restes sont égaux ; on trouve ainsi DCE = DCB; c'est-à-dire que la partie DCB serait égale au tout DCE : ce qui est absurde. Mais on est conduit à cette absurdité en supposant que le prolongement de AC n'est pas CB ; donc CB est le prolongement en ligne droite de AC. Ce qu'il fallait démontrer.