LIVRE

des égalités précédentes, puis écrivant que les numérateurs sont ^aux^ on obtient ces égalités respectivement équivalentes ;

AD — BDxDG

ab' = bgxbd

AC'=BGXDC

Conformément à ce que nous avons dit dans les préliminaires (135), il faut dans ces dernières égalités regarder AD, BD, DC, ... oomme étant les nombres qui expriment les longueurs des lignes appelées sur la figure AD, BD, DC,... Ces égalités s'emploient préférablement quand on traite par le calcul des questions de géométrie. Gomme chacune d'elles alleu entre les Valeurs numériques de trois lignes, elle peut servir à calculer l'une de ces valeurs numériques quand on connaît les trois autres (*).

ÀPPLidATioN. BD = 9 millimètres j DG = 16 millim. Trouver AD, BG, AB, AG.

10 BC = BD + DG = 25 millimètres.

2° ÂD'=BDxDG=9xi6 = i44;AD=v/Ï4Î=12 millim.

3* AB' = BCxBD=25x9=225;AB=v^= 15 millim.

4° AC' = BGxDG = 25xl6=:400;AG=v/^=20millim.

La combinaison des égalités (4), (5), (6) conduit à d'autres relations utiles entre les valeurs numériques des mêmes lignes. Voici la plus remarquable :

iHà. Les trois côtés d'un triangle rectangle ayant été mesurés avec la même unité linéaire :

Le carré du njombre qui exprime V hypoténuse est égal à la somme

{*) A ce point de vue chacune des égalités (4), (5), (6) est ce qu'on nomme en algÀre une formule. Les notations AD, BD, DG..: représentent des nombres dé kl même maAière que a» b^ c... en algèbre. Le» ealouls que Von fait pour établir les théorèmes suivants sont de véritables opérations algébrlqucei

des carrés des nombres qui expriment lei> carrés des côtés de l'angk droit.

BG* =Âb' + W (fig. précédente).

J'abaisse du sommet A de Tangle droit, une perpendiculaire sur rhypoténuse. D'après le théorème précédent, égalités (5) et (6), on a

bgxbd=âb'

BCxDC = ÂC*

En additionnant ces égalités, membre à membre, et mettant BG en facteur commun, on trouve

BG (BD + DG) =Ib' +Âg\ (*)

laquelle, puisque BD + DG = BG, revient à

BCxBG ou BG'=:^'+Bg' (7) C.Q.F.D.

Faisons encore une application des formules (4), (5), (6), (7) : Soient AB = 3 mètres; AC= 4 mètres; on demande les valeurs numériques de AB, BD, DG, BG.

jo BC*=3« + 4«=9+ 16 = 25; BC=\/25 = 6 mètres. BG étant connu et AB donné, on déduit de l'égalité (5)

3î^=5X£»D; d'où BD = 7.

De même l'égalité (3) donne

4«=5XDC; d'où DG = ^.

Enfin l'égalité (1) donne

Il existe aussi entre les valeurs numériques des côtés des triangles non rectangles des relations que nous allons faire connaître.

(*) En mettant par la pensée des nombres à la place de BD et DG , on comprend aisément ce calcul. Si par ex. AD et DG ont les valeurs précédentes,

BD = 9et DG = 16, en additionitant (5\ (Ci) ci-dessus, onaÂB'+ÂG*=:9fois BG+ 16 fois BG; ce qui fait bien BGx(9 + 16).