AC =AB +BG* — 2BGXBD

11 s'agit des nombres qui expriment les lignes indiquées, et des carrés de ces nombres (Préllmin., n«> 135.)

Pour démontrer cette proposition, nous nous appuierons sur ce principe :

Le carré de la différence de deux nombres est ^' égal à la somme des carrés de ces nombres , moins deux fois leur produit ;

[a — hf = a^-\-V—^aXh.

Cela posé, j'observe que dans le triangle rectangle ADC, on a

AC' = ad' + DC' .

Mais DC=BG— BD; donc DC* =BC' + Bd' — 2BCxBD. Remplaçant DC' par cette valeur dans Tégalité (1), on trouve :

AC' == ad' -1- BC' + Bd' — 2BC X BD. (2)

94 COURS DK GÉOMÉTRIE.

Mais AD -{-^^ =ÂB (triangle rectangle BÂD); si on remplace dans l'égalité (2)^ ÂD -f BD par AB , on obtient :

ÂC* = BC' + Âb' — ffiCxBD. G. Q. F. D.

A Q peut arriver que la perpendiculaire

X tombe en dehors du triangle comme dans

^N^v cette figure.

\ \s^ Si Ton y considère le côté AC op-

! \I\s, P^'^^ ^ "" angle aigu B, on n'en aura pas

^ ^ B moins

Âc' = Xb' + BC' — 2BC XDB.

En effet, le triangle rectangle ACB donne

Âc' = âd' + DT/. (i)

Mais DC =r DB — BC; donc DC' = DB* + BC' — 2BC X DB. On remplace DG par cette valeur dans (l), et on achève comme précédemment.

Tltéorème.

156. Le carré du côté d'tm triangle opposé à un angle obtus est égal d la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le produit de Vun de ces derniers côtés multiplié par la projection de l'autre côté sur celui-là.

ÂB* = ÂG* + BC' + 2BG X GD (fig. précédente ).

(11 s'agit des nombres qui expriment les lignes indiquées et des carrés de ces nombres. )

Dans le triangle rectangle ABD, on a

AB* = ÂD* + DB'. (1)

Mais DB = DG + BG; donc^ d'après une proposition démontrée en arithmétique (*) , DB* = DG* + BG' + 2DG X BG.

(•) Le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier, plus le carré du sfticond, plus deux fois le produit du premier par le second: (a + 5)*=o« + b« + 2o X b.