LIVRE III

En remplaçant DB par cette valeur dans (1 ), op a

Âb' =1 ad' + DC' 4. BC' 4- 2BGXDC. (2)

Mais AD 4- ï^ = AC ( triangle rectangle ADG ) ^ en remplaçant AD + DC par AC , on a enfin

Âb' = Âg' 4- BC' + 2BCXBD. G. Q. F. D.

Remarque. Chacune des égalités qui concerne les côtés d'un triangle non rectangle comprend les valeurs numériques de quatre lignes; de sorte que chacune de ces égalités^ prise isolément, ne peut donner une de ces valeurs que si on connaît les trois autres.

Des trois derniers théorèmes résulte le principe suivant :

Suivant que le carré du nombre qui exprime le plus grand côté d*un triangle est égal à la somme des carrés qui expriment les deux autres côtés, ou plus petite ou plus grand que cette somme, le plus grand angle du triangle est droit, edgu ou obtus.

l" Exemple. Les côtés d'un triangle sont 5 mètres , 3 mètres, 4 mètres.

Ce triangle e«t rectangle. Autrement, le carré de son plus grand côté serait plus petit ou plus grand que la somme des carrés des deux autres côtés

(n«- 1^ et 156).

Un triangle dont les côtés sont entre ewo commet, 4, 5, e«t rectangle.

En effet, ce triangle est semblable à un triangle dont les côtés auraient des longueurs respectivement égales à 3, 4, ô.

2* Exemple. Les trois côtés d'un triangle sont : 5", 7", 8".

Le plus grand angle de ce triangle est aigu. Car s'il était droit , on devrait avoir 8*=: 7* + 5*; s'il était obtus, on devrait avoir 8« > 7* + 5>. 3* Exemple. Les côtés d'un triangle sont 5*", 7"', 10*".

Le plna glin4 angle de oe triangle est obtus.

f>6 COURS DE GÉOMÉTRIE.

THéorème*

Si on joint le sommet A (Vun triangle ABC au milieu I , du côté opposé BG, 1 A on a entre les carrés des wmhres qui exprifnent

/; V\^ les côtés et la miédiane AI , la relation suivante :

AB* + ÂC* = 2AI* -f 2BP = SÂÏ* + îf^)*. En eifety dans le triangle A1B, l'angle I étant algn » on a

ÏB* = Âî* -f BÎ* — 2BI X W> W (n* 1^).

L'angle I du triangle AIC étant obtus , on a

Â? = ïT + ÏC* + 2IC X ID (2).

Ajoutant ces égalités, membre à membre, on trouve, en ayant égard à ce que Bl = IC ,

ÂB* -f AC* = 2ÂÏ* + 2Bi' .

On déduit facilement de ce théorème que :

La somme des carrés des quatre côtés d*un parallélogramme est égale à la somme des carrés des diagonales.

En général , la somme des carrés des quatre côtés d^un quadrilatère quelconque est égale à la somme des carrés des diagonales , plus quatre fois U carré de la ligne qui joint les milieux des diagonales.

Nous laissons ces deux théorèmes à démontrer.

Voici de nouvelles formules qui ont lieu également entre quatre lignes, mais qui concernent les sécantes et tangentes d'un cercle.

Tliéorèiiie.

Si d'un point pris dans l'intérieur d'un cercle on mène des sécantes au cercle, le produit des distances de ce point aux deux points dHntersection de chaque sécante avec la circonférence est amstànt j quelle que soit la direction de la sécante;