LIVRE III

Remarque. Rappelons-nous qu'on doit chercher une quatrième proportionnelle aux lignes m, n, p, quand il faut avoir une ligue

X telle que — = ^ , ou bien mxx = nxp, ou bien encore m = ^; car ces trois égalités sont équivalentes.

Problème*

162. Trouvei' une moyenne proportionnelle entre deux lignes données m, n.

tn X n s'agit de trouver une ligne x telle que — = -, ou bien telle

que mxn=a?% ou a?=\/mxn.

On peut donner de ce problème diverses solutions fondées sur les

théorèmes précédents dans l'énoncé desquels il est question de

moyenne proportionnelle .

Première solution. Sur une droite indéfinie on prend une Ion-

. . , ^ gueur AB = m, puis BC = n; on

construit, sur la ligne AC comme diamètre, une demi-circonférence; on élève au point B, sur AG, une perpendiculaire BD terminée à la cir- ^ ^ ^ conférence; BD est la moyenne pro-,

portionnelle demandée.

En effet, si on tire AD , DG , on forme un triangle ADG , rectaog^ en D (n"" 110). Dans ce triangle ADG, la perpendiculaire DB abaissée du sommet de Tangle droit sur Thypoténuse , est moyenne géométrique entre les segments AB = m et BC = n (nM53, 1^). G. Q.F. D.

Deuxième solution. Sur la ligne indéfinie XY on prend , à partir du même point A, successivement, AC = iw, AB = n; sur AG, comme diamètre , on décrit une demi-circonférence ; au point B on élève sur AG la perpendiculaire BD, terminée à la circonférence ; on tire AD; AD est la moyenne proportionnelle entre AG = m et AB=n. En effet, dans le triangle rectangle ADG, un côté de Tangle droit, AD, est moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière AC, et le segment adjacent AB (153, 2°).

partir

même point A^ successivement ABmHj puis AC = n; sur CB = AB — AC, comme corde^ on décrit une circonférence; du point A on mène une tangente^ AD, à cette circooférence; AD est la moyenne proportionnelle cherchée.

En efifet, on a vu (n» 158, 3^) que ÂD*=ABX AC = mXfi.

Problème.

165. Partager une ligne donnée AB en moyenne et extrême raison.

Partager une ligne ÂB en moyenne et extrême raison , t^est la diviser en

deux parties AG, CB , telles que la plus grande pmrUê BC wit moyenne pfo*

p^tioHMUê $ntr$ la ligné entière AB et Vautre feitriie AGr

^ ^ .♦ , AB BC On doit avoir g^ = .

Au point A sur AB , j'élève une perpendiculaire AO que Je prends égale à la

moitié de AB; du point comme centre avec le rayon 0A| je décris une circonférence; je mène par le point B et par le centre, la sécante BDE ; pois Je prends BC= BD , au moyen de l'arc de cercle DG ; la ligne AB est divisée au point G en moyenne et extrême

p c A raison.

En effet, la séoante DE et la tangente BA étant issues du même point,