LIVRE m

PouJr le démontrer, je tire OD, puis considérant la perpendiculaire OH au milieu de BG y je fais tourner le quadrilatère OHGD autour de OH comme charnière jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le quadrilatère OHBA; les angles en H étant égaux comme droits^ le ob\é HC s^appliquera sur HB, et comme HG=:HB , le point G tombera en B; mais alors l'angle HGD étant égal à HBA (égalité des angles du polygone régulier) , la ligne CD s'appliquera sur BA, et conune GD=BA, le point D tombera en A; comme d'ailleurs le point a'a pas bougé, il se trouve que OD coïncide exactement avecOA; donc OD=OA. La circonférence décrite de comme centre avec le rayon OA passe donc au point D. La considérant conmie passant par B, G, D, on prouvera de même qu'elle passe en E; et ainsi de suite. Gette circonférence passe donc par tous les sommets du polygone ; elle est circonscrite à ce polygone.

C'est la seule qu'on puisse circonscrire , puisque le polygone a au moins trois sommets, et que par trois points non en ligne droite , on ne peut faire passer qu'une circonférence.

^ On peut inscrire une circonférence.

Pour cela, on observe que les côtés AB, BA, GD,... du polygone

étant des cordes égales de cercle OA , sont également distants du centre ; Oî = OH = OG, etc. ^ Si donc du point comme centre avec un rayon égal à OH, on décrit une circonférence, cette courbe passera par les points I, H, F,. .. et y sera tangente aux côtés du polygone , puisque ceuxci sont perpendiculaires à ses rayons 01 , OH, etc.

Gette circonférence sera donc inscrite au polygone.

On ne peat inscrire que cette circonférence.

En effet, le centre de toute circonférence inscrite devant être également distant des côtés AB, BC du polygone , devra se trouver sur la bissectrice de l'angle ABC (48); ce même centre devant être également distant des côtés BG» CD, 86 trouve aussi sur la bissectrice de l'angle BGD; ce centre doit donc 86 trouver à la rencontre des deux bissectrices; celles-ci n'ayant qu'un point commun, il n'y a qu'un centre , un rayon 01 , et par suite une seule circonférence inscrite.

Remarque. Le centre de la circonférence circonscrite et le centre de la circonférence inscrite à un polygone régulier sont un seul et même point ; ce point s'appelle le centre du polygone.

Les lignes qui vont du centre à tous les sonunets du polygone sont les bissectrices de ses angles.

Chacun des angles AOB ^ BOG , etc. .. est dit un anglo ok eenirt du polygone ; tous ces angles sont égaux.

Il y a autant de ces angles au centre que de côtés dam le poly** gone; leur somme est égale à 4 droits. Chacun d'eux a donc pour

valeur 4 droits divisés par le nombre des côtés du polygonal .

S41 s'agit ^ par exemple , d'un* hexagone régulier^ l'angle au centre

est égal à — ^ — = - droit.

Réciproquement , connaissant la valeur d'un angle au centre , on peut en conclure le nombre des côtés du polygone. Ex. : Tangle au centre d'un polygone régulier est de 45<'; quel est le nombre de oôtésP 4 droits = S60*; on

écrira = 45*» ; — = 45 ; d'où 360 = 45n et n = — - = 8.

Tliéorème.

Les périmètres des deicx polygones réguliers du même nombre de côtés sont entre eux comme les rayons des cercles circonscrits ou des cercles inscrits.

Soient AB , A'B' deux côtés des polygones donnés , et 0' leurs centres. OA, O'A' sont les rayons des cercles circonscrits; 01, OT les rayons circonscrits.

Les triangles isocèles OAB, O'A'B' sont semblables; car Tangle j et l'angle 0' sont la même partie aliquote

^ -' ^' b' a ^ a ', /^droits . ^,

^ de quatre droits I , si n est le nombre des côtés de chaque polygone) ; 5=; C

OA OB ^ , et l'on a évidemment p— ; = rr^^,. Ces trian-

UA Vu

gles étant semblables, on a l'égalité de rapports Tfw^^TTV'^ n.AB P AB P OA

rTTV ^" P "^ A^" ^^^^^ F ^ UI'' ^ P^i^^^^ *« deux polygones sont entre eux comme les rayons des cercles circonscrits»