LIVRE III
OU
donne ÂÔ' = Al' + Ol* ; c'est-à^ire R«= (^V + (è£\\
R* ÂC* R* = -j" + -7- • Multipliant de part et d'autre par 4 , on trouve
'«• =R» + ÂC*, d'où enfin Âc' = 3R« et AC = R y/â.
On obtient la valeur numérique du côté du triangle équilatéral inscrit en multipliant la valeur du rayon par \/3.
On évalue v/3 en décimales avec l'approximation que comporte
la question. Si A = i, AC= s/3. Le côté du triangle équilatéral inscrit et le rayon n'ont pas de mesure conmiune.
Problème*
IVti (bû). Inscrire un décagone régulier dans un cercle.
Supposons le problème résolu et soit ÂB le côté du décagone régulier in-
scrit. L'angle au centre = — d = -d. Les deux angles,
à la base  et B du triangle isocèle OÂB, valent en-
semble 2<'»- — = 2<'*- — - d = - dr. donc A=B= -dr ;
B est double de 0; je divise cet angle B en deux parties
égales par la ligne BI ; Tangle OBI = et le triangle OIB
est isocèle ; 01 =. IB. Dans le triangle Â1B , nous avons IBÂ = - , A= -- ; donc
AIB = 2iir — - = - dr = A; le triangle AlB est isocèle et AB = IB ; donc 5 5
AB=: OL Cela posé, observons que BI étant bissectrice de Tangle B du triangle OBA , on a (n» 140) Tégalité de rapports t^ = rr » Q^^ revient ^ 757 = 71 »
à cause de OB = OA , AB = OL La ligne 01 , égale au côté AB du décagone régnlier inscrit , est donc le plus grand segment du rayon OA divisé en moyenne et extrême raison.
Pour inscrire un décagone régulier dans un cercle, il suffit de diviser le rayon en moy^ne et extrême raison, puis de porter le plus grand segment dix fois sur la circonférence; on revient au point de départ.
Ayant inscrit le décagone régulier, si Fon joint ses sommets de deux en deux, on obUent le pentagone régulier inscrit. On construit aisément les polygones Inscrits de 20, 40, 80 côtés (no 173).
lio
Problème.
175. Un polygone régulier étant rnserit, inscrire tm poh/gohe
régulier d'un nombre double de côtés, \
On divise en deux parties égales chacuA des ares sous-tendus
par les côtés du polygone donnée puis on joint diaque point de
division aux deux sommets voisins*
Un carré ABGD étant inscrit dans im cercle > on obtient par
cette construction Toctogone inscrit; puis successivement les polygones de 16 ^ 32, 6l
côtés.
^ Ayant inscrit un hexagone régulier, on peut B obtenir suoœssivement les polygones inscrits de 12, 24,48 côtés.
174. Connaissant là valeur numérique du côté d'un polygone régulier inscrit et le rayon du cercle , calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés double» Soit AB le côté d'un polygone réguliex inscrit; abaissons la perpendiculidre OG , et tirons AG } AC est le côté du polygone inscrit d'un nombre de côtés double. Désignons par c la valem* numérique de AB , par R celle du rayon , et œ celle de AC.
Prolongeons GO jusqu'à la circonférence D, et tirons AD} le triangle ADC est rectangle, et Al est perpendiculaire à l'hypoténuse. Le côté AC = a? ôSt tnôyetl pttportionnel entre l'hypoténuse DG ^ 2R et le segitient r^Îa^^^^CI:
AC =DCxCI ou a?« = 2RxCI.
MaisGI = OG-OI=R— Ot=tl— V^R'— ÎT; (4)
= V^R« — aT.
car OI*=îAO' AB
AI* a= R« -^ AI*; tf où 01
^ ^=T = I' ^=1^ R«-.Âr = R«-L
LiYHB III. lit
Donc
' En ren^plaçant CI par cette valeur dans l'égalité (1) , on trouve :
d'où a:=\/R(2R — V/4R» — c*). (o)
A Taide de cette formule, on peut^ connaissant le périmètre d'un polygone régulier de n côtés , calculer le périmètre ^nx du polygone inscrit d'un nombre double de côtés.
Pr€»lilèiiie«
496. Un polygone régulier étant inscrit dans une circonférence, ctrcon" scrireun folygonê régulier semblable.
On mène un rayon , 01 , perpendiculaire à chaque côté du polygone inscrit ,
et à rextrémité, I > de chaque rayon une tangente à la circonférence; lei tangentes ainsi menées forment un polygone régulier circonscrit semblable au polygone inscrit donné.
En effet , d'abord les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone Inscrit ; car> comparés deux à deux, ces angles ont les côtés parallèles et dirigés dans le même ■^ sens. Ex. :BAG,DGF.
En second lieu , les côtés homologues déâ detix polygones fMportÂôiittriti poar le démontrer, nous allons faire volt d*abord que Itt MMmJMtft ta â<ui polygone! lont deux à deux en ligne droite avec le centre 4t la circonférence; par example, 0, A, G sont en ligne droite. En effet , lee dnix triantes rectang^A OIC> OHG ont l'hypoténuse OG conmiune ; les côtés et» Oft égaux dMune rayons ; ces deux triangles étant égaux, Tangle GOI=GOH ; \è tigM GO dltlêe YMi^e lOH en dieux parties égales; elle doit donc passer an ntfUÉtt A êê rtre IH qui mesure lOH } les points 0, A, G sont done en ligne droite. Gela posé, les deux triangles AOB, GOD sont semblables (équiangles) et
MulMtt ^<tt7^) do même les trlaiigles seniblables OAG,OGP âottnent
GD OG -;|P =3 ««I de ces deux égalités résulte celle-ci ^ ^^ = Pp i ^" trouterait de
Af" CN
mdme 7? ^ »f ; ^tc. Les deux polygones sont équiangles et ont les côtés
proportionnels; ils sont donc semblables. Le polygone inscrit est régulier, l'autre l'est aussi.
Problème.
t9S. Connaissant le côté d*un polygone régulier inscrit dans wi cercle, trouver le côté d*un polygone circonscrit semhUible, Il faut trouver CD (figure précédente) , connaissant AB et 01.
Soient Ch = x, AB = C, OI = R.
Les triangles semblables OAP, OGl donnent l'égalité
CI 01 2G1 01 X R ^, V CXR
ÂP = ÔP'2ÂP = ÔP "" C = ÔP'^^^ * = -ÔP"'
Mais ôF = ôr-ÂP«=.R.-(^y=R.«Ç = 15Lzl2!; donc OP = >^^?^V (b)
Remplaçant OP par cette valeur, et effectuant la division , on trouve
