LIVRE

Rapprochent indéfiniment yjtisqu*à en différer d'une quantité moindre que toute grandeur donnée ^ les périmètres des polygones inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment , ces côtés devenant infiniment petits (*).

D'après cela, et pour plus de simplicité, on considère, dans les applications numériques, la longueur de la circonférence comme le périmètre d'un polygone inscrit d'un très-grand nombre de côtés infiniment petits , et on lui attribue les propriétés qui appartiennent à tous les périmètres des polygones inscrits, indépendamment du nombre de leurs côtés.

Il nous faut maintenant apprendre à calculer la longueur d'une circonférence de rayon donné. Pour cela, on se fonde sur ce principe fondamental :

Tliéorèiiie*

1 78. Ze rapport d'une circonférence à son diamètre est un nombre constant.

En d'autres termes :

Le rapport d'une circonférence à son diamètre est le même que celui d'une autre circonférence quelconque à son diamètre.

circOA cire. D'A' , ... ^. ^,.,

= , quels que soient les rayons OA, A .

JXjA 2U a

Pour le démontrer, inscrivons dans les deux circonférences deux

polygones réguliers du même nombre de côtés. Les périmètres P, P' de ces polygones sont entre eux dans le même rapport que les rayons OA, O'A' des cercles

., P OA circonscrits: p; = g7j?.

Cette proposition est vraie , quel que soit le nombre des côtés des polygones inscrits; elle ne cesse pas d'être vraie quand, le nombre des côtés de ces polygones devenant infiniment grand, on arrive

(*) Voyei en arithméticiue ce qu'on nomme limite d'une série de grandeuri variables.

n'f COURS DE GÉOMÉTRIE.

aux limites de leurs périmètres ^ c'est-à-dire aux droonférttioes.

circ.OA OA ciro. OA 20A

Deux circonférences de cercle sont entre elles dans te même rapport que leurs rayons ou leurs diofnètres.

De la dernière égalité [en multipliant les deux mambveB

drc. CA'X , , , ..

cire. OA cire. O'A' p n w n

Le rapport constant de la circonférence au diamètre se désigne habituellement par la lettre grecque u. Ce nombre it ne peut être évalué que par approximation ; c'est ce qu'on appelle un nombre incommensurable. 11 y a diverses manières d'en trouver une valeur approchée.

Manière d'évaluer le rapport approché dé la arconféfencê

,. ,, circ.R

au diamètre f it= ^ .

zR

179. Le rayon d'une circonférence étant exprimé pa^ un nombre donné, R, si on peut trouver le nombre qui ejiprime la longueur de la circonférence, cire. R, en divisant ce nombre trouvé par deux fois le rayon, on aura la valeur de tt. Pour plus de simplicité , on cherche la longueur de la circonférence dont le rayon est Punité linéaire; R == 1.

Pour la trouver, on s'appuie sur la définition même : La longueur de la circonférence est la limite dont s^approchent indéfiniment et jusqu'à en différer d'une quantité moindre que toute grandeur donnée, les périmètres des polygones inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment, ces côtés devenant infini" ment petits.

Pour R = l, le côté du carré inscrit égale \/2 et son périmètre

égale 4v/2, qu'on peut évaluer à moins d'une unité décimale quelconque.